轨道动力学：作用量、守恒量与进动

01行星运动怎样接入空间背景

行星反复靠近和远离中心天体时，为什么轨道的近日点会逐周转动？在 ASD 中，这个问题联系着两类空间响应：中心源建立静态、非均匀的纵向拉伸，运动物体及其周围的伴随场又形成方向性的惯性响应。轨道必须同时描述物体经过怎样的真实路径，以及这一联合结构怎样改变动量和能量。

这里把行星近似为内部状态保持不变的试验体，以 $m_0$ 表示其质量参数，忽略自引力、形变和对中心源的反作用。ASD 用局域空间结构解释物质及其惯性；本页使用第二章已经规定的宏观动量与耦合关系，并不要求先把某个候选粒子图景当作已求得的稳定解。

中心源取静态、球对称、无电荷背景。记源质量为 $M$，引力耦合为固定的 $G_0$，引力长度为 $\ell_g=G_0M/c^2$。径向坐标 $r$ 由球面面积 $4\pi r^2$ 定义；它是面积半径，区别于沿径向累计的真实长度。在物质源外部且 $r>2\ell_g$ 的区域，采用 $X=1-2\ell_g/r$、线膨胀系数 $\Omega=X^{-1/2}$ 及其倒数 $\Phi=\sqrt X$。本页的 $\Phi$ 是无量纲空间状态量。

上游动力学从 LVE 的方向长度关系出发，另用惯性构成式规定各方向对总动量的权重，得到 $\mathbf p=m_0\gamma\mathbf v$，其中 $\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$ 表示运动空间结构的惯性增益。将功关系与静止能量归一化 $E_0=m_0c^2$ 接入，再按 $\mathbf p=\partial\mathcal L_0/\partial\mathbf v$ 积分，得到自由拉格朗日量

这一路径中的惯性权重、静止能量及普适质量归一化各有明确作用，详见动力学与能量。轨道计算要把这一自由运动关系放入中心源形成的空间背景。

02真实路径、局域速度与作用量

中心源的梯度选出径向，球面对称性联系两个切向方向。书稿采用径向真实长度 $d\ell_r=\Omega\,dr$；面积半径已经给出球面弧长 $r\,d\varphi$，不再给切向长度重复乘以 $\Omega$。在轨道平面内，$\varphi$ 为方位角，有

空间拉伸也改变标准过程的特征波长及参考频率。用远场过程建立共同计数参数 $t$，同类局域过程在 $dt$ 内积累 $dN=f_0\Phi\,dt$ 个周期，$f_0$ 为远场参考频率。由真实长度与周期数定义的局域速度于是为 $v_*=f_0d\ell_s/dN=\Phi^{-1}d\ell_s/dt$，即

点号表示对 $t$ 求导。局域速度 $v_*$ 与参考坐标速度有不同的标定，必须先折算，再将它用于自由运动关系。

对于固定内部态，第二章另采用普适静态能量耦合：局域结构能量以 $\Phi$ 折算到共同参考，作用量增量为 $\mathcal L\,dt=\mathcal L_0(v_*)\Phi\,dt$。这是与标准过程响应相协调的构成输入，并非仅由周期计数推出。代入后得到

作用量 $S=\int\mathcal L\,dt$ 汇集整条运动路径上的动力学关系，其驻值条件决定轨道。上式把真实路径对速度的影响与位置对参考能量的影响写在一起。$X\to1$ 时恢复自由运动；物体静止时，参考能量为 $m_0c^2\Phi$，其弱场增量为 $m_0\Psi+O(m_0\Psi^2/c^2)$，其中 $\Psi=c^2(X-1)/2=-G_0M/r$。牛顿势能因此与上游惯性使用同一质量和能量归一化。

03同一精度应保留哪些运动项

为看清这一作用量如何接近牛顿运动，记 $U=G_0M/r>0$，所以 $\Psi=-U$；再记参考坐标径向速度 $v_r=\dot r$、$v^2=\dot r^2+r^2\dot\varphi^2$。这里的 $v$ 专指这一展开中的坐标速度大小，不是前节的 $v_*$。在 $U/c^2\ll1$、$v^2/c^2\ll1$ 下，保留比牛顿项高一阶的完整修正，称为一阶后牛顿展开：

这里保留的是最终式（2.27）的网页展开。最终书稿式（2.28）明确给出两个正则动量，不再将这一 1PN 级数标作原书式（2.28）。

展开使用 $X^{-1}=1+2U/c^2+O(c^{-4})$ 和 $\sqrt{1-z}=1-z/2-z^2/8+\cdots$。$v^4/8$ 延续自由结构的惯性修正，$Uv^2/2$ 与 $Uv_r^2$ 表示运动和空间拉伸的耦合，$U^2/2$ 来自静态能量的下一阶变化。它们属于同一计算精度，不能只挑选其中一项修正牛顿轨道。

下面直接从未截断的作用量求守恒量与轨道形状，再在求近日点进动时作一阶近似，使背景、运动和近似阶数始终一致。

04从对称性得到能量与角动量

先将作用量根号内的量记为

$D=X(1-v_*^2/c^2)>0$ 对应局域亚光速运动，使作用量为实数。背景没有优先方位，$\mathcal L$ 不显含 $\varphi$，其对应的正则角动量守恒。“正则”在这里指由作用量对速度求偏导定义的动量。除以 $m_0$，得到比角动量

$j$ 的量纲是长度平方除以时间。由于 $\sqrt D$ 参与折算，不能在强场或高速计算中把它直接换成 $r^2\dot\varphi$。

静态背景使 $\mathcal L$ 不显含 $t$，因而也有守恒的参考能量。先求径向动量 $p_r=\partial\mathcal L/\partial\dot r$，再以速度乘以相应动量并减去 $\mathcal L$，即得到能量的勒让德变换：

对同一根号分别按 $\dot r$ 和 $\dot\varphi$ 求偏导，前者带出径向 $X^{-1}$，后者带出 $r^2$。因此最终式（2.28）的两个正则动量先由作用量得到，再共同进入式（2.31）的能量变换。

其中 $p_\varphi=m_0j$，$E_\infty$ 表示归算到远场共同参考的能量，$\mathcal E=E_\infty/(m_0c^2)$ 为无量纲常数。角动量和能量分别记录方位对称性与静态性；它们使轨道形状能够摆脱对运动计数参数的显式依赖。

05消去计数参数，得到轨道形状

用倒半径 $u(\varphi)=1/r$ 描述形状，并将撇号定义为对 $\varphi$ 求导。由比角动量及链式法则，

将两个速度代入 $D$ 的定义，得到

先除以 $D$，再乘以 $X$，并用能量守恒中的 $X^2/D=\mathcal E^2$，有

整理得到径向运动的一阶积分：

这里假定 $j\ne0$；纯径向运动应直接使用原作用量。对 $\varphi$ 求导，在 $u'\ne0$ 处约去 $2u'$，再由轨道的光滑连续性延伸到近日点和远日点，得到

记 $\mu=G_0M$，于是 $X=1-2\ell_gu$、$dX/du=-2\ell_g$。右侧三项依次成为 $\mu/j^2$、$-u+2\ell_gu^2$、$\ell_gu^2$，相加便得

牛顿项决定椭圆的基本尺度，$3\ell_gu^2$ 随物体靠近中心源而增强。在当前面积半径表示中，系数 $3$ 是同一作用量内两个位置相关贡献的合成，没有另加一项经验进动。这一形状方程在给定静态构成模型内成立，以下再提取弱场的一阶进动。

06径向往复为什么不再对应整周转角

忽略修正项时，轨道是开普勒椭圆：

$a$ 为半长轴，$e$ 为偏心率，$p_{\rm orb}$ 为椭圆的半通径；$p_{\rm orb}=a(1-e^2)$ 在零级椭圆上成立。取 $\ell_g/p_{\rm orb}\ll1$，令 $u=u_0+\delta u$，只在修正项中使用零级解：

用 $\cos^2\varphi=(1+\cos2\varphi)/2$ 分解右侧。常数项调整平均尺度，二倍频项产生有界形变；与零级径向往复同频的 $6\ell_ge\cos\varphi/p_{\rm orb}^2$ 则逐周累积。由

求出累积项，再与缓慢转动的椭圆作一阶展开比较：

这里 $\kappa$ 是无量纲的方位漂移系数。相邻近日点的方位差为 $2\pi/(1-\kappa)$，保留一阶即 $\Delta\varpi=2\pi\kappa+O(\kappa^2)$，得到每周进动

物体从远日点进入更强拉伸区域时，路径尺度、局域速度与惯性响应共同变化；离开近日点时又连续调整。径向完成一次往复所需的方位角因此超过 $2\pi$，近日点沿公转方向前进。$\ell_g/p_{\rm orb}\to0$ 时恢复闭合开普勒轨道；严格圆轨道没有独立近日点，近圆情形可比较径向与方位运动的频率。

07怎样进入观测，怎样界定计算范围

书稿使用太阳引力参数 $\mu_\odot\simeq1.3271244\times10^{20}\,\mathrm{m^3s^{-2}}$、水星 $a\simeq5.79\times10^{10}\,\mathrm m$、$e\simeq0.2056$，得到中心场贡献每周约 $0.1035$ 角秒、每儒略世纪约 $43.0$ 角秒。实际星历还要同时拟合其他行星摄动、太阳多极矩和观测链路；这一中心场数值不是完整实测残差。参数参考见 JPL，观测关系见 GRV-EXP-004。

书稿采用的完整静态作用量与 Schwarzschild 外部作用量数学同形，这一比较是在 ASD 的空间长度、惯性和能量耦合已经构成之后进行的。因此相同条件下的进动再现不能独立确认两者的物理解释。求解更高阶轨道也不会因阶数提高而自动产生 ASD 独有差值。

上述 $U^2/c^2$ 属于完整一阶后牛顿作用量，不能据此把进动公式称为完整二阶结果。只继续展开 $2\pi/(1-\kappa)$ 会遗漏同阶的轨道修正。非退化轨道研究仍需先确定完整模型是否产生不可被参数重定标吸收的差值。

本页范围不含多体、自引力、辐射反作用及旋转强场。S301 案例目前缺少完整输入数据、拟合和残差，保留数据条件约束；不能据本页的形式关系给出该天体的拟合结论。