干涉与衍射：边界怎样形成条纹？

01从物质源、孔径到探测屏

物质通过狭缝后为何形成有规则的明暗分布？在 ASD 的物理图景中，需要同时考虑局域物质核、核外伴随场和装置边界。核心能否穿过开孔，取决于核心的有效尺度及其与材料的作用；延展到核外的包络则响应整个孔径。给定源的制备态以后，首先可以求出场怎样穿过边界并到达屏幕，再考察屏幕如何把局域相互作用转化为记录。

设主要传播方向为 $x$，挡板位于 $x=0$，探测屏位于 $x=L$。$y$ 是孔径处的横向坐标，$Y$ 是屏幕处的横向坐标，$L$ 为传播距离。以下计算采用有效波动方程已经建立的低能包络层，并取其传播系数 $B^{ij}=\delta^{ij}$，即所选传播区内各向同性。$m_0$ 是该包络通道经能量匹配得到的质量参数；$\hbar$ 沿用物质波中的模作用量匹配。

当入射态已制备、传播近似线性，而且挡板不显著激发物质的内部自由度时，可以用透射函数 $T(y)$ 表示孔径。边界条件为 $\psi(0,y)=T(y)\psi_{\rm in}(y)$，其中 $\psi_{\rm in}$ 是入射横向振幅。$T$ 不必只是取零或一的开孔函数：狭缝表面的势和吸收也可以进入其复振幅。这样，装置的物理作用先进入边界，再由传播方程决定下游场形。

02从包络方程到孔径传播积分

对近单能入射态，把共同的时间振荡及沿 $x$ 方向的快速相位提出，写成第五章式 (5.3.1) 的形式：

这里 $\Psi$ 为完整有效包络，$k$ 为主要传播方向的波数，$E_{\rm kin}$ 为这一自由传播态的动能；$\psi$ 描述剩余的空间变化。将它代入无势、无源的有效方程，时间相位与主传播项相消，留下

傍轴近似是指传播主要沿 $x$ 方向，且沿该方向的剩余振幅缓慢变化。其具体条件是 $|\partial_x^2\psi|\ll|2k\partial_x\psi|$；在此条件下，上式化为 $i\partial_x\psi_{\rm par}=-(2k)^{-1}\partial_y^2\psi_{\rm par}$。对横向坐标作 Fourier 变换，每个横向波数 $k_y$ 的分量传播到 $L$ 时便乘上 $\exp[-ik_y^2L/(2k)]$。逆变换得到

式中的 $\lambda=2\pi/k$ 是与该传播态相联系的波长。积分把孔径各处的复振幅按传播相位相加，因此不仅保留各处强弱，也保留它们到达同一屏幕位置时的相位关系。被提出的共同因子 $e^{ikL-iE_{\rm kin}t/\hbar}$ 不改变这张屏幕上的相对强度图。

这一 Fresnel 积分仍要求薄孔径、近轴传播和较弱的多重散射。若挡板厚度、内部激发或表面作用不能压缩为 $x=0$ 处的透射条件，就要把材料与场共同纳入边值问题，而不能仅调整一个几何缝宽。

03单缝包络与双缝条纹来自同一个边界解

令两条矩形缝各宽 $a$，中心间距为 $d$。以 $\operatorname{rect}(u)$ 表示在 $|u|<1/2$ 内为一、外部为零的矩形函数，孔径为

设两缝受到近似均匀、相干的照明。再用 $D$ 表示整个孔径的横向尺度；只有在 $D^2/(\lambda L)\ll1$ 时，才可进入 Fraunhofer 远场近似。此时传播核中与孔径位置平方有关的相位可以略去，与屏幕方向有关的线性相位必须保留。于是屏幕振幅由孔径的 Fourier 变换给出：

其中 $\operatorname{sinc}$ 因子来自每条缝有限的宽度，余弦因子来自两个中心位置的相位差。取观察方向与 $x$ 轴的夹角为 $\phi$，则 $k_y=k\sin\phi$，两缝的相位差为 $kd\sin\phi$。平方模给出

$I_0$ 吸收共同的照明与传播归一化系数。小角度下 $Y\simeq L\phi$，条纹间距为 $\Delta Y\simeq\lambda L/d$，单缝包络的第一零点在 $|Y|\simeq\lambda L/a$。缩小缝宽会展宽包络，增大缝间距会压密条纹；关闭一条缝以后，双缝余弦因子消失，单缝衍射仍然存在。这两种现象因此由同一传播方程在不同孔径条件下给出。

下面的交互图用于查看这一远场公式中的相对场强及参数关系。它不模拟单个物质核的运动或屏幕落点，也不是特定电子装置的完整数值解。

04相干性决定条纹能保留多少

真实源具有有限谱宽，材料和环境也会改变两路振幅及相位。把两路响应分别写成 $A_1d_1e^{i\theta_1}$ 和 $A_2d_2e^{i\theta_2}$，其中 $A_1,A_2$ 为振幅尺度，$d_1,d_2$ 为随制备或装置微态变化的复响应，$\Delta\theta=\theta_2-\theta_1$。以尖括号表示相应的平均，第五章式 (5.3.7)–(5.3.8) 定义

这里 $I_j=|A_j|^2\langle|d_j|^2\rangle$ 是单路平均强度，$\mathcal V$ 为保持这些响应参数不变时扫描相位所得的条纹可见度。归一化互相干系数 $\Gamma_{12}$ 衡量两路复响应保持相位关联的程度，其上界直接来自 Cauchy–Schwarz 不等式。即使两路仍有相干性，强度不平衡也会降低可见度；谱平均、相位漂移和材料响应则会改变 $\Gamma_{12}$。它没有取代对装置中全部可读变量及其条件分布的分析。

对最终书稿采用的高斯窄带波包，$\Delta\omega$ 明确定义为角频率标准差，相干时间采用最小均方根时间宽度，于是 $\tau_{\rm coh}=1/(2\Delta\omega)$、$\ell_{\rm coh}=v_g/(2\Delta\omega)$，其中 $v_g$ 为群速度。两路群延迟差小于这一尺度时才能保持高对比度；其他谱形与宽度约定须另取对应系数，不能用一般量级式 $\tau_{\rm coh}\sim1/\Delta\omega$ 代替这里的高斯等式。本页观察夹角采用 $\phi$（对应书稿式 5.3.6 的 $\theta$）；波相位 $\theta_j$ 与 $\Delta\theta$ 保持各自含义。

05外势怎样进入相位比较

孔径几何之外，沿路的势也会积累相位。在两条路径的主要速度相同、势差较小的条件下，由有效包络的相位演化得到

$V_1(t),V_2(t)$ 是两路沿传播过程经历的势能。本式按路径一减路径二定义 $\Delta\theta_V=\theta_1-\theta_2$；若将这一势相位差代入前节采用 $\Delta\theta=\theta_2-\theta_1$ 的相干表达式，须取相反数。重力公式给出绝对值，不受这一记号选择影响。重力例中采用弱均匀场 $V=M_Pgz$，$M_P$ 是被动引力质量，$g$ 是当地重力加速度，$z$ 是高度；它与质子质量的符号含义不同。若两段水平路径的高度差为 $h_0$、长度为 $l$、速度为 $v$，则势差为 $M_Pgh_0$、作用时间为 $l/v$，从而得到上式中的有效面积 $\mathcal A=h_0l$。采用惯性质量 $M_I$，并进一步匹配 $P=M_Iv$ 与 $\lambda=h/P$，还可把相位差写成 $M_PM_Ig\mathcal A\lambda/(2\pi\hbar^2)$，其中 $h=2\pi\hbar$。

COW 中子干涉实验提供了这类重力相位的比较对象。真实晶体干涉仪还需处理几何、弹性形变和转动；ASD 的构建要求从同一纵向空间背景确定势、质量匹配及其相位作用。

涉及 LVE 时，同样必须比较完整路径。第五章式 (5.1.16) 在恒定速度矢量下，把方向奇项写成只依赖起终点的项。因此两路具有共同端点时，这一项相消。单条臂上的方向项不能直接作为新增干涉信号。

06从场强分布进入实际计数

在近单色、近同向传播且归一化系数近似恒定的范围内，$I$ 可以表示包络作用权重或平均能流的相对分布。它回答的是边界怎样重排连续场；屏幕记录还要经过吸收、效率和时间积分。因而求得条纹峰形与求得逐粒子事件统计是相接的两个计算。

电子晶体衍射检验波数与动量的关系。Tonomura 等的实验记录了逐电子事件积累成干涉图样，但采用的是电子双棱镜和位置计数器，并非这里的两条矩形缝。共同的两路叠加结构允许比较物理关系，具体数据仍要用实际边界与探测响应计算。

场解也没有单独决定实体核心的落点。第五章区分有限核心与场的局部重叠耦合，以及由包络振幅—相位分解得到的相位流；两者并非自动相同的核心运动律。即使另行采用相位流作为有效导向并使初始核心分布与场权重相匹配，连续性方程给出的也是这一分布的保持性，不是任意初态都会趋于该分布的证明。真正的事件率与条件位置分布要继续进入探测与统计中的联合装置模型。

07场的建立时间与可检验响应

伴随场在装置中的建立受原二阶方程的推迟传播约束。核心速度小于 $c$ 时，某些来自制备源的扰动可以先于核心到达孔径，但这并不决定到达时的场强、横向范围或相干性；这些量仍由源历史和边界响应给出。快速改变孔径时，只有变化的未来因果域内的系统部分才会响应。

有限传播本身并非 ASD 的独有预测。要构成装置级判别量，需计算给定切换过程中的响应幅度、建立时间及探测波形，再与相同条件下的比较模型相减。OP-QM-006据此要求明确的可观测差值、误差预算与否证条件；现有条纹公式承担的是有效波动现象的验收。