矢量势：横向空间响应的连续表示

01局域作用为什么要改用连续势描述

两个电荷之间的磁作用差额说明运动怎样改变指定构型中的横向作用。要计算电流分布、随时间变化的场和传播，不能只记录两点的力，还要为整个空间的状态选取连续变量。ASD 以剪切、扭转和取向自由度描述这一响应，再用电磁势组织它的有效表示。

静态均匀基态中，核外电荷 $q$ 的标势与电场写为：

$r$ 是该静态背景中的径向距离，$\hat{\mathbf r}$ 从源指向场点；$\Phi_\tau$ 具有伏特量纲，下标 $\tau$ 标记电磁扭转通道。径向电场描述远场响应的几何形态，剪切通道说明 ASD 的空间解释，两者不是同一种“方向”。标势与空间状态的归一化来自电荷—场耦合；这个标势也不能与引力模块的纵向密度或势变量未经定义地互换。

02势的变化怎样组织电场和磁场

含时情形不仅有标势的空间变化。引入矢势 $\mathbf A_\tau$，把场定义为：

$\mathbf A_\tau$ 的单位为 V·s/m，$-\partial_t\mathbf A_\tau$ 因而与 $-\nabla\Phi_\tau$ 有相同电场量纲。静态时可还原到上面的势梯度；变化时这一过程项不可遗漏。$\mathbf B$ 由旋度定义，描述局部环向结构，而不是在原来的两电荷作用上另添加一个基本实体。

势并非唯一表示。对足够光滑的标量函数 $\chi$ 作：

磁场变化为 $\nabla\times\nabla\chi=0$；电场中的 $\nabla\partial_t\chi$ 与 $-\partial_t\nabla\chi$ 相消。因此这些不同势表示同一 $\mathbf E,\mathbf B$。这种规范自由度是表示的冗余，不能把任意规范中 $\mathbf A_\tau$ 的每个数值都解释为唯一物理位移。场足够光滑、导数可交换的区域，由这些定义还得到磁场无散和感应关系；有源动力学需再给出耦合。

03横向投影与空间状态的对应

在给定衰减或相容边界下，可以分离矢势的横向部分 $\mathbf A_T=\mathbf A_\tau^\perp$，满足 $\nabla\cdot\mathbf A_T=0$。“横向投影”是去除梯度表示部分、保留无散自由度的操作；边界条件属于这一分离的定义。

在无源辐射区固定相应规范后，第三章取 $\mathbf A_T=N_T\mathbf u_T$。$\mathbf u_T$ 是长度量纲的横向空间状态，$N_T$ 是单位为 V·s/m² 的常数归一化系数。下标 $\tau$ 表示电磁通道，$T$ 表示其中的横向分量。这个对应限定在已指定的自由横向有效扇区，不把完整标势、任意规范矢势和有源物质核心都合并成同一个位移场。磁场页及传播页继续展开旋度、能量和系数匹配。

04低速源怎样产生有效矢势

设源电荷以速度 $\mathbf u$ 运动；这里 $\mathbf u$ 是速度，不是空间状态 $\mathbf u_T$。在低速、近区、准静态展开的最低阶，采用：

$\Phi_{\mathrm{static}}=q/(4\pi\varepsilon_0r)$ 是静态参考势。速度给出矢势方向，$1/r$ 核给出空间衰减。空间求导时若 $\mathbf u$ 为常量，旋度只有 $\nabla\Phi_{\mathrm{static}}\times\mathbf u/c^2$；若速度随位置变化，还含 $\Phi_{\mathrm{static}}\nabla\times\mathbf u/c^2$。源随时间移动时，电场也包含相应矢势的时间项。

对局域、稳恒、无散宏观电流 $\mathbf J$，以衰减边界选取线性静态有效解：

$\mathbf r$ 是场点，$\mathbf r'$ 是源积分位置，$R=|\mathbf r-\mathbf r'|$；$d^3r'$ 是源体积元。该叠加及 $1/R$ 核来自选定的线性场方程，而非单凭 LVE 唯一推出任意源势。准静态展开和完整推迟势属于不同近似层次，不能在高速源问题中互换。

05自由物质作用量怎样从 ASD 动力学重构

计算场如何改变物质运动，需要物质自身的变分基础。这里“作用量”是沿过程积分拉格朗日量所得的量，运动方程由其对轨迹的驻值条件确定。第二章已给出机械动量 $\mathbf p=m_0\gamma\mathbf v$、包含静能的自由物质能量 $E_f=m_0c^2\gamma$，以及 $dE_f=\mathbf v\cdot d\mathbf p$；$m_0$ 为静质量，$\mathbf v=d\mathbf x/dt$ 沿用同一运动变量与过程参数。

利用能量与动量的 Legendre 配对，即从二者反向重构自由拉格朗日量：

因为 $\mathbf p\cdot\mathbf v-E_f=m_0\gamma(v^2-c^2)=-m_0c^2/\gamma$，并且 $dL_0=\mathbf p\cdot d\mathbf v+\mathbf v\cdot d\mathbf p-dE_f=\mathbf p\cdot d\mathbf v$，速度导数恢复原机械动量。进一步有书稿式（3.20c）：

$\delta_{ij}$ 为单位矩阵分量。与速度垂直和平行的响应本征值分别为 $m_0\gamma$、$m_0\gamma^3$，对应第二章的横向、纵向重构阻抗。在 $m_0>0,v<c$ 时它们为正，局域能量—动量转换可逆。静能确定这里的加法常数；这个数学形式的来源是 ASD 动量及功—能关系，不是用标准自由粒子作用量替换上游推导。

06从自由运动进入有效场耦合

自由项尚未规定电荷怎样与势相接。第三章在宏观有效电流、低速物质源及准静态或低频响应范围内另行选取最小耦合：

$-q\Phi_\tau$ 表示电荷与标势的耦合，$q\mathbf v\cdot\mathbf A_\tau$ 表示运动电荷与矢势的耦合。自由项是框架内的重构结果，相互作用项是本层有效构成选择；它并非由特殊构型的磁力差额唯一决定，也尚不是一般高速拓扑电荷的完整源模型。

对这个已声明的作用量变分，可以得到机械动量的电磁响应和正则动量。磁场页逐项计算这一过程，让势变量与受力之间的联系可追溯。