连续空间的自由度

01参考位置与状态变化

ASD 用体积、形状与取向三个相互关联的状态描述空间，而不把所有物理变化归结为坐标标签的改变。小位移描述可兼容形变，独立标架和紧致取向则承担超出这一线性描述的自由度。

设想在一个近似均匀背景中标记一小块区域。它可以整体平移，可以改变体积，也可以在近似不变体积下改变形状或取向。要把这些情况分开，先用参考位置 $\mathbf x$ 指定区域，再用 $\mathbf u(\mathbf x,t)$ 描述其相对于基态的位移型变化。小位移代表构型可由一个单值场连续生成；书稿也允许在明确归一化后用它表示等效相位刷新或空间状态变化。

这里 $\mathbf u$ 的单位为长度，$t$ 是过程演化参数。改变坐标标签和改变状态并不是同一件事：被动坐标变换可以重写场分量，物理状态变化则要通过构成关系改变能量、传播或物质响应。后者才是本页所定义的对象。

常量 $\mathbf u$ 描述整体平移，尚未产生局部形变。邻近位置的差别由 $\partial_j u_i$ 给出；在兼容形变模型中，形变梯度为 $F_{ij}=\delta_{ij}+\partial_j u_i$。此处 $F$ 是矩阵，须与母方程中的幅度源函数 $F(\Theta)$ 区分。

02体积变化与密度约定

小形变下，$\det F=1+\partial_i u_i+O(|\nabla\mathbf u|^2)$。若同一参考体积中的基元或连接数守恒，体积增大意味着数密度降低，因此引入

$s$ 表示膨胀应变，$\sigma$ 是压缩为正的线性相对密度；二者无量纲。$n_s$ 是基元或连接数密度，$n_{s,0}$ 是参考值，不能与场动能中的 $\rho_s$ 混同。第四章用 $\eta$ 表示压缩变量，第五章与本模块采用 $\sigma$；第五章另有名为 $\eta$ 的核心扰动，含义由所在方程重新定义。

此关系是雅可比的线性极限。有限形变必须返回 $n_s/n_{s,0}=1/\det F$；各向异性背景不能只凭一个方向的伸长决定体积。纵向场将进一步区分局部密度与引力尺度背景。

03剪切与旋转为什么分别定义

位移梯度的对称部分是小应变。去掉其迹，得到形状改变而不含线性体积变化的对称无迹应变 $e^{\rm dev}_{ij}$；反对称部分描述局部取向旋转。书稿使用

$\boldsymbol\Omega_T$ 是横向位移的旋度，$\boldsymbol\omega$ 是对应的小转角变量，均无量纲；这里的 $\boldsymbol\omega$ 不是单位为 $\mathrm{s^{-1}}$ 的角频率，也不是引力页的标量尺度因子 $\Omega$。旋度等于局部旋转的两倍，而对称无迹应变包含另一部分形变信息。

因此，横向响应可以涉及剪切与旋转，却不能把二者在每一点直接等同。一个局部旋转量也没有给出整个区域的闭合方式、目标空间或拓扑分类；这些需要额外结构和边界。

04按传播方向组织纵横自由度

在线性传播问题中，可以将体积通道与横向通道组织为

对全空间适当衰减的场，或满足相容边界的函数空间，这个 Helmholtz 分解分别取出无旋和无散部分。在 Fourier 空间，非零波数的投影写为

$\mathbf k$ 是传播波数，单位为逆长度；$P_L$ 取出平行于 $\mathbf k$ 的分量，$P_T$ 取出垂直分量。直接相乘得到 $P_L^2=P_L$、$P_T^2=P_T$、$P_LP_T=0$，因而可在常系数线性问题中分别求模。

零波数的整体平移与有限区域中的调和分量，要由整体条件另行指定。非均匀系数或耦合存在时，投影未必与演化算符对易；几何上能够分解，并不保证两个通道各自满足互不作用的方程。

05小位移之外的取向与幅度

强非线性核心可以包含大角度闭合取向，核外小位移不能充分描述它。第四章为此引入紧致取向 $Q\in SU(2)$ 和实幅度 $\chi$：

$SU(2)$ 在这里是由满足所列约束的矩阵组成的候选取向空间，$\chi$ 表示有序程度。矩阵 $\Psi$ 是幅度与取向的组合；它不是量子模块中同名的慢包络。其单位由相应作用量归一化决定。局部相位可以作为一个截面的坐标，但单个标量相位不能承担全部三维取向和粒子信息。

第五章还用无量纲实分量 $\Theta_A$ 表达局部双场候选。$\Theta_A$、$\chi Q$ 和小位移具有不同约束；只有说明目标空间、内积、能量及映射以后，才可以比较它们。采用 $SU(2)$ 本身也没有得到弱相互作用的规范理论。

物质波的外部相位 $\Xi$ 与矩阵取向还要继续分开。第五章 (5.6.30) 将 $\hbar\nabla\Xi$ 与完整着装态动量匹配；若直接令 $Q\mapsto e^{i\Xi}Q$，一般会改变 $\det Q$，因而离开 $SU(2)$。外部相位应由允许的群作用或独立模振幅引入，不能为方便而把取向场当成任意复标量。

06伸缩、形状与取向的扩展标架

第五章用局域标架展示怎样把三种状态分别保留。内部指标 $a$ 标记标架方向，空间指标 $i$ 标记坐标方向；极分解为

这里无量纲 $\varphi$ 是等向线性拉伸，$S$ 是无体积剪切，$R$ 是取向旋转。偶对称的长度二次型为

旋转 $R$ 在这个长度式中消去；若取向梯度具有物理代价，须另由连接能规定。对于 $e_i{}^a=\delta_i{}^a+\partial_i u^a$ 的兼容标架，线性阶有 $\varphi=s/3$，而 $S-I$ 与 $R-I$ 对应位移梯度的对称无迹与反对称部分。一般标架不一定能由全局位移生成，独立拉伸和非兼容取向会增加自由度，需要新的约束和能量。

这一空间标架不自动构成四维度规。其长度二次型对 $d\mathbf x$ 与 $-d\mathbf x$ 相同，也不能单独表示第一章有向 LVE 因子的方向奇项。连续变量的定义因此限定了它能承担的物理任务。

07定义自由度以后再选择实现

上述对象提供连续计算的变量和边界，尚未选择唯一晶格。连续动力学为这些变量指定作用量和源；波传播计算线性谱。微观模型则要说明实际连接怎样产生这些系数和允许的分支。

若研究稳定局域结构，还须规定无穷远取向、幅度是否允许过零以及拓扑量的定义。稳定拓扑任务由此进入存在性与扰动稳定性；它不由纵横分解或局部旋度单独解决。