磁场：空间旋度与物质响应

01从势的旋度进入空间状态

在 ASD 的构建中，磁力先由指定运动构型的真值作用差额出现；磁场随后成为连续空间响应的表示。给定有效矢势 $\mathbf A_\tau$，定义 $\mathbf B=\nabla\times\mathbf A_\tau$。旋度衡量局部环向变化，因而能够描述剪切取向的扭转结构；这个定义本身尚未规定电荷或磁针怎样受力。

在无源横向有效扇区，给定规范和相容边界，令 $\mathbf A_T=\mathbf A_\tau^\perp$ 并取 $\mathbf A_T=N_T\mathbf u_T$，得到：

$\mathbf u_T$ 是具有长度量纲的横向空间状态，$\boldsymbol\Omega_T=\nabla\times\mathbf u_T$ 是无量纲局域旋度，$N_T$ 的单位为 V·s/m²。磁场 $\mathbf B$ 的单位为特斯拉，横向电场 $\mathbf E_T$ 的单位为 V/m。$\boldsymbol\Omega_T$ 描述空间取向变化，不是时间角速度，也不是闭合拓扑数；辐射电场则对应同一状态的过程变化。

有源区域仍用势的旋度定义磁场，但将一般高速拓扑核心直接映射到这个空间状态，还需要源方程。本页先说明第三章已经建立的有效响应，保持定义、构成耦合和变分结论的顺序。

02准静态源怎样给出磁场表示

取源电荷速度为 $\mathbf u$，测试电荷速度为 $\mathbf v$；它们都是相对于所用背景的速度，$\mathbf u$ 不等于位移状态 $\mathbf u_T$。在低速近区的准静态最低阶，矢势为 $\mathbf A_\tau\simeq\Phi_{\mathrm{static}}\mathbf u/c^2$。若空间求导时源速度为常量，旋度乘积公式和 $\mathbf E_{\mathrm{static}}=-\nabla\Phi_{\mathrm{static}}$ 给出：

这个 $\mathbf B$ 表示源运动相关的连续响应，不是从参照系变换出发重推磁力。若 $\mathbf u$ 随位置变化，还应保留 $\Phi_{\mathrm{static}}\nabla\times\mathbf u/c^2$；时间变化则同时进入电场。

03物质受力怎样从作用量得到

在前述有效源范围内，采用 $L=L_0-q\Phi_\tau+q\mathbf v\cdot\mathbf A_\tau$，其中 $L_0$ 已由 ASD 动量—能量关系重构。$q$ 是测试电荷量，$\mathbf p=m_0\gamma\mathbf v$ 为机械动量，$t$ 为同一过程参数。逐分量的速度和位置导数为书稿式（3.21）：

这里 $A_i$ 是 $\mathbf A_\tau$ 的第 $i$ 个分量，重复的 $j$ 求和。沿轨迹 $dA_i/dt=\partial_tA_i+v_j\partial_jA_i$。把两组导数代入 Euler–Lagrange 方程，移去矢势导数项，得到：

分量中的反对称梯度满足 $v_j(\partial_iA_j-\partial_jA_i)=[\mathbf v\times(\nabla\times\mathbf A_\tau)]_i$，因此形成上式的磁项。正则动量为 $\mathbf P=\mathbf p+q\mathbf A_\tau$，机械动量仍为 $\mathbf p$。洛伦兹受力形式在这里是已选择的最小耦合的变分结果，不是前面 LVE 磁力推导的隐藏前提。

把准静态源场代入 $q\mathbf v\times\mathbf B$，用向量三重积展开，有：

共同速度且 $\mathbf v\perp\mathbf E_{\mathrm{static}}$ 时，保留的二阶磁项为 $-\beta^2q\mathbf E_{\mathrm{static}}$，再现 LVE 特殊构型的磁差额主项。一般双速度方向结构由最小耦合和准静态源势共同确定；比较二阶总受力时也必须保留电场的同阶修正。

对 $E_f=\mathbf v\cdot\mathbf p-L_0$，若自由项无显式时间依赖，功—能关系给出：

磁项垂直于速度，在这一模型内改变动量方向而不直接改变自由运动能量。相对于场表示静止、无磁矩的点电荷磁力为零，含时电场仍可使它受力；静止磁针却有内部磁矩，必须用磁矩耦合说明，不能套用无磁矩点电荷的结论。

04电流、导线与磁矩怎样进入响应

宏观电流由多个带电组分的定向输运形成。设 $\rho_a$ 是第 $a$ 个组分的带符号电荷密度，$\mathbf u_a$ 为其速度；定义：

正负组分可以使总电荷密度 $\rho_e$ 相消，但因速度不同，电流密度 $\mathbf J$ 不必相消。对于局域、稳恒、无散电流及衰减边界，上一页的线性势核可取旋度。令 $\mathbf r'$ 是源位置、$\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r'$、$R=|\mathbf R|$，用 $\nabla(1/R)=-\mathbf R/R^3$ 得到：

细导线可把 $\mathbf J\,d^3r'$ 换成 $I\,d\boldsymbol\ell'$，得到毕奥—萨伐尔线元形式。再用 $\nabla^2(1/R)=-4\pi\delta^3(\mathbf R)$ 和无散势条件，得到 $-\nabla^2\mathbf A_\tau=\mu_0\mathbf J$、$\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J$。对长度远大于间距、可忽略端部效应的平行直导线，环路对称性及有效物质响应给出：

$d$ 是导线间距，$I_1,I_2$ 为约定方向上的电流，$L$ 是受力段长度。大小按电流绝对值理解，吸引或排斥的方向由电流叉乘磁场确定：同向电流吸引，反向排斥。这是有效场方程和耦合内的再现；微观对应要计算电子、离子、交叉作用、线密度及边界，不能简单加总共同运动两电荷的特殊构型结论。

永磁体的源还包含微观磁矩的平均取向。第三章式（3.32）用磁化强度 $\mathbf M=\sum_a n_a\langle\boldsymbol\mu_a\rangle$ 表示它，$n_a$ 为数密度，$\boldsymbol\mu_a$ 为磁矩；等效束缚体电流和面电流为 $\mathbf J_b=\nabla\times\mathbf M$、$\mathbf K_b=\mathbf M\times\hat{\mathbf n}$，$\hat{\mathbf n}$ 是外法向。这里 $\mathbf K_b$ 是面电流，不是 LVE 长度因子。

对尺寸小于外场变化尺度、磁矩可视为固定参数的偶极，书稿式（3.33）给出 $U_\mu=-\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B$、$\boldsymbol\tau=\boldsymbol\mu\times\mathbf B$、$\mathbf F_\mu=\nabla(\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B)$。均匀场可以转动磁矩，非均匀场还可产生净力；诱导磁矩则按材料响应重新计算。这里 $\boldsymbol\tau$ 是力矩，与势的下标 $\tau$ 含义不同。内禀磁矩、自旋和磁旋比的微观确定仍属于稳定物质结构问题。

05感应如何连接变化的场和物质回路

对光滑势定义取旋度，标势梯度消失，得到：

这两条是势表示中的几何恒等式。对固定边界 $C$ 及其固定曲面 $S$ 使用 Stokes 定理，感应电动势 $\mathcal E=\oint_C\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell=-d\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf S/dt$。它把变化的横向取向状态接到环向电响应。

若光滑闭合回路随同一物质运动，局部回路速度记为 $\mathbf w$，电荷受到的有效单位电荷作用包含 $\mathbf E+\mathbf w\times\mathbf B$。结合运动曲面的输运公式，书稿式（3.36）为：

固定回路回到上一式；滑动接触、断开或重新连接时应按实际电荷通路计算。感应结构本身尚未确定传播速度，下一页从横向作用量与恢复系数进入自由传播。

06真空系数与材料响应各自描述什么

材料中的带电结构及伴随场可以相对位移或形变，内部磁矩和闭合取向也可集体调整。第三章式（3.47h）因此把材料响应写成

$\mathbf D$ 是电位移，$\mathbf P_{\rm pol}$ 是极化强度，区别于机械变分中的正则动量 $\mathbf P$；$\mathbf M$ 是磁化强度。$\mathbf H$ 扣除了磁化贡献，是辅助场量。在局域、线性、各向同性且没有磁电交叉耦合的材料近似中，才进一步写成 $\mathbf D=\varepsilon\mathbf E$、$\mathbf B=\mu\mathbf H$。真空 $\varepsilon_0,\mu_0$ 与材料 $\varepsilon,\mu$ 属于不同层次；作用同源不意味着任意材料满足 $\varepsilon\mu=c^{-2}$。

这使 ASD 的空间解释与实际材料读数相接：极化和磁化分别记录不同内部自由度的调整，不能仅凭有效本构出现张量形式，就把它归为真空常数变化。静态耦合、自由横波惯性及恢复系数的完整对应见电磁波专题。