宇宙背景：热输运、谱与声学相位

01背景辐射也是一个产生、传播与接收过程

宇宙微波背景首先是可测的电磁辐射。COBE/FIRAS 的公开谱资料给出了与近黑体谱比较的观测入口；谱形、温度各向异性和偏振分别对起源模型提出要求。ASD 把电磁辐射解释为横向开放模，因此可以研究空间有序化、拓扑重接以及物质与辐射交换怎样留下横向背景。要成为完整起源说明，还须计算制备、热化、传播和接收，而不是仅给背景换一个物理名称。

自由纵向模可能有另一种背景分布，但它的存在、产生率、热化及退耦要由自身耦合确定。横向微波已经观测到，不意味着纵向背景已被观测，也不意味着二者具有相同温度或能量密度。以下先讲锁定第五章已经给出的横向模有效输运，再说明与声学结构和探测相接的条件。

02占据数怎样随背景变化

书稿以无量纲 $a_U(t)$ 描述宇宙平均空间伸缩，定义 $H=\dot a_U/a_U$，量纲为逆时间。这里的 $k$ 先指物理波数，$n_A(k,t)$ 表示均匀各向同性条件下通道 $A$ 的模占据数；$A=T,L$ 分别标记横向与纵向。式 5.5.8 写为

左边把占据分布的时间变化与伸缩引起的波数漂移联系起来；沿相应特征线 $\dot k=-Hk$。右边 $C_A$ 是产生、吸收、散射与纵横转换的碰撞项，$\Theta$ 表示有序空间状态，$\rho_b$ 是物理重子质量密度。写出输运结构以后，还需由实际相互作用给出碰撞核与初态；这一结构本身不确定热化效率和退耦时刻。

当采用常值 $c,\hbar$、每模能量 $\hbar\omega$ 与玻色占据统计的有效输入，并由产生吸收过程使电磁通道的化学势趋于零时，式 5.5.9 给出

$T_\gamma$ 是背景温度参数，$k_B$ 是玻尔兹曼常数，$u_\omega$ 为每单位角频率的能量密度，积分后得到总辐射能量密度；第二式已计入两个电磁横向偏振。它回答给定温度和平衡条件下的谱形，没有独立预测这个温度。仅有弹性散射或固定粒子数的详细平衡，也不足以保证零化学势。能量量子与占据统计在这里属于有效输入，不是经典近邻格点计数直接推出的结论。

03退耦后的谱为什么按尺度变化

透明化以后，在横向通道的碰撞项可忽略的区间取 $C_T=0$。积分 $\dot k=-Hk$ 并采用 $\omega=ck$，得到 $k\propto a_U^{-1}$、$\omega\propto a_U^{-1}$。若初始谱为上述平衡分布，保持指数 $\hbar\omega/(k_BT_\gamma)$ 的形式便给出温度标度；每模能量减少之外，模数密度还随体积按 $a_U^{-3}$ 稀释。书稿式 5.5.10 因此为

下标 0 表示参考历元 $a_U=1$ 的初值；这些等号描述已选无碰撞模型，不替代退耦前的热化计算。

这里 $u_\gamma$ 是总横向辐射能量密度。这些标度是给定平均伸缩与常值 $c,\hbar$ 后的输运与运动学结果；它还没有决定 $a_U(t)$ 的背景演化。若另行采用作用量尺度随背景变化的构成关系，必须同时重建能量输运和观测频率匹配，不能直接把变化的 $\hbar$ 填进常系数结果。

同样，在各向同性、无隙且 $\omega=ck$ 的自由模集合中，平均动量通量给出 $p=u/3$。普通纵向热辐射因此也有压强，不能仅因不带电或探测较难，就承担近无压冷暗成分的全部作用。暗物质方向介绍的是另一个有隙相干模型及其条件。

04声学振荡属于耦合物质与辐射

微波背景的声学结构涉及复合前耦合的光子重子流体，并非真空自由纵波本身。为了比较不同时间的传播，书稿定义共形传播参数 $d\eta=dt/a_U$；以下声学方程中的 $k$ 改指共动波数，区别于前面的物理波数。以 $\delta_{\gamma,k}$ 表示该 Fourier 模的辐射密度扰动，式 5.5.11 为

撇号是对 $\eta$ 的导数，$c_s$ 是耦合流体的有效声速，不是真空纵波速度 $c$；$\mathcal A$ 记录阻尼或背景项，$S_k$ 记录驱动。重子负载、伸缩和散射影响这些系数，它们还须由流体与辐射输运联合求出。该方程是书稿采用的最低有效结构，不是已经计算完成的 ASD 角功率谱。

为去掉一阶导数，代入 $\delta=e^{-\frac12\int\mathcal A d\eta}y$。对乘积连续求导，一阶项相消，得到式 5.5.12：

这一步保留了变系数带来的导数修正。对无源或已分离受驱解的振荡分支，在频率为实且 $|\omega_{\rm eff}'|\ll\omega_{\rm eff}^2$ 的慢变范围，式 5.5.13 的齐次解近似为

$C_k,D_k$ 由初态决定。频率变化同时影响相位与振幅，不能只把常频率换成一个积分而保留恒定振幅。只有 $c_s$ 为常数且 $\mathcal A=0$ 的相应齐次方程，常振幅正弦余弦才是精确解。

上标 WKB 表明这里定义的是齐次方程的首阶近似基解；给这组基解写等号，不表示任意变系数或受驱背景都已得到精确解。

05从声学长度到角尺度

令 $\eta_*$ 表示末次散射时刻，定义共动声学尺度 $r_s(\eta_*)=\int^{\eta_*}c_s d\eta$，并以 $D_M$ 表示到末次散射面的共动横向距离。以角度比较长度时，两者必须采用同一种距离约定。式 5.5.14 在相位近似下写为

$\ell_A$ 是无量纲角尺度指标，$\ell_n$ 为近似峰位置，$\phi_n$ 为引力驱动、传播成分与投影引起的相位偏移，并不是前面引力拉伸变量 $\varphi$。如果采用物理角直径距离 $D_A$，分母也要改用物理尺度 $a_U(\eta_*)r_s$。峰高、奇偶差异、扩散阻尼、偏振及透镜还需要完整扰动输运系统，不能从一个角尺度公式直接得到。

Planck 的原始宇宙学分析提供多种谱的比较对象；ASD 的工作则是从自己的纵向势、物质形成和平均伸缩动力学给出这些输入与传递关系。当前页面没有发布 ASD 对这些谱的定量拟合，也没有由给定温度的谱形证明其宇宙起源。

06来源、接收与继续研究

理论说明依据 最终合订稿《各向异性空间动力学》第五章第五部分第 3–4 小节，式 5.5.8–5.5.14。COBE/FIRAS 和 Planck 资料用于核对观测对象，不作为 ASD 的证据升级。全文保持探索导读与尚待检验的定位，未采用未批准的作用量专题替换此处常系数约定。

横向接收须连接到电磁传播与材料响应；候选纵向背景则须另行定义接收体如何把场变成读数，见自由纵波与探测开放问题。背景占据、产生机制和装置响应都明确以后，才可以比较同一观测协议下的信号。