FCC 微观模型：连接、连续极限与色散

01微观连接要解释什么

最终书稿采用 FCC 十二近邻连接作为空间的首选微观基态模型，并用具体连接律推导连续主部与完整离散色散。第四章小结同时明确：最密堆积不能单独排除其他实现，FCC 的选择与纵横同速仍分别需要动力学和本构依据。

连续模型能在给定恢复系数与动态权重后求传播，但没有因此解释这些参数的来源。微观连接模型要说明空间状态怎样相邻耦合、怎样刷新，哪种长波极限产生连续变量，以及何时出现方向色散或截止。第四、第五章以 FCC 给出具体的微观实现，使邻接关系可以直接计算；空间基元本身不是处于空间中的普通物质原子。

第四章以常规立方晶胞边长 $a_0$ 表示离散尺度，最近邻距离为 $L_0=a_0/\sqrt2$。常规晶胞的四个代表位置属于同一 FCC Bravais 晶格描述，不是四种独立基元。这里 $a_0$、近邻步长 $L_0$、物质核半径与相位周期长度各有定义，不能未经动力学匹配直接等同。

十二近邻、立方对称以及四面体和八面体通道，提供组织密度、剪切和取向响应的可能性。它们并没有单独给出基态选择、正确纵横波速或粒子谱；最密堆积也不能代替相互作用能和候选基态比较。

02先选连接律再求演化

第五章先取一个已经选定标量或偏振的实分量 $q_{\mathbf R}(t)$，格点位置为 $\mathbf R$。对反向配对、互易且位置无关的连接，离散作用量为

$Z_d>0$ 是时间导数项的归一化系数，$[\Gamma_n]=\mathrm{s^{-2}}$，$J_{\mathbf R}$ 与该分量耦合。若 $q$ 为长度单位，则 $Z_d$ 为质量单位，各格点括号为能量；这一单位选择没有额外证明格点是物质小球。系数 $1/4$ 包括连接在全格点有向求和中被计数两次的修正。

对 $q_{\mathbf R}$ 变分，来自相邻键的项要一起计入。互易条件下得到

这一式子才是选定连接律的演化。邻接几何与恢复系数在其中分别出现；对完整矢量或内部取向体系，连接还带内部指标，不能把本标量式直接当作全部空间自由度。

03十二条连接怎样给出连续主部

最近邻矢量与二阶矩为

每个平面有四个独立符号组合。以 $x$ 分量为例，$xy$ 和 $xz$ 组各贡献 $a_0^2$，其余组的 $x$ 分量为零；交叉乘积因符号配对相消。反向键还满足 $\sum_n\mathbf d_n=0$。

在 $ka_0\ll1$，邻点变化可展开为

反向连接具有相同系数时，奇数阶在求和中消失。于是连续主部的速度平方张量为

$[C_{ij}]=\mathrm{m^2s^{-2}}$。等连接 $\Gamma_n=\Gamma_0$ 时，$C_{ij}=\Gamma_0a_0^2\delta_{ij}$，$c_q^2=\Gamma_0a_0^2$。把 $c_q$ 匹配到 $c$ 还需要参数条件，而完整纵横同速还要检查各自的连接响应。

对缓慢变化的互易连接，应从相同连接能得到带权散度形式，见连续动力学。其粗粒化同时要保留时间与源的归一化，不能只拿空间二阶矩就宣布两个作用量等价。

04精确色散与长波截断

对等连接无源方程取 $q_{\mathbf R}\propto e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf R-\omega t)}$，时间项给 $-\omega^2$，每条连接给 $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf d_n}-1$。正反配对消去虚部，故 $\omega^2=\Gamma_0\sum_n[1-\cos(\mathbf k\cdot\mathbf d_n)]$。逐组求和得到

来源公式核对。 最终书稿 (5.1.12) 前的半角平方和系数印为 $2c^2/a_0^2$，与 (5.1.11) 不相等：按 $1-\cos x=2\sin^2(x/2)$，对三个 $i<j$ 组合及各自的正、负号求和，等价系数应为 $4c^2/a_0^2$。原印式会把长波主项变为 $c^2k^2/2$。本页采用已经由十二近邻直接求和核验的余弦全谱，与第四章 (4.12) 一致；该半角系数差异单独记录，不把它当成另一条已成立的物理关系。

每个 $1-\cos$ 非负，因此 $\Gamma_0>0$ 时完整式在离散波数域中非负。取 $c_q^2=\Gamma_0a_0^2$，展开为

领先项各向同性，四阶项保留方向信息。它说明最低阶无明显晶轴与高阶方向色散可以同时存在。截断要求 $ka_0\ll1$；将负四阶修正外推到高波数，会制造精确式没有的负频率平方。

第五章第六节还讨论正的高阶稳定能。它是另一类本构选择，不能与这里等近邻模型的负四阶色散截断随意拼成同一模型。一般连接的高阶项必须重新计算。

05各向异性和因果边界还需要什么

第五章举例：核心沿 $x$ 方向运动，$xy,xz$ 组取 $\Gamma_\parallel$，$yz$ 组取 $\Gamma_\perp$，则所选标量模型有

这说明实际连接响应可以产生方向差异，未决定两个系数怎样依赖速度。运动源本身的方向性与自由传播算符的方向性也不同：各向同性的因果方程可以因源移动而产生各向异性的响应。

真正矢量、多取向或微旋转模型的主部具有 $C_{ai,bj}\partial_i\partial_jq_b$。立方点群允许的高阶张量不必具有完整旋转对称性，标量二阶矩不能替代全部本征支和偏振的计算。

有限邻接范围也不自动给连续时间格点方程严格零尾部的微观前沿。长波双曲方程有自己的有限域依赖；若微观刷新也以 $c$ 为严格速度边界，刷新规则须另行满足相应条件。相速度、群速度、长波极限速度和前沿速度不能仅以同一数字命名而等同。

06用同一连续要求比较候选实现

FCC 模型的可计算内容，是给定邻接和连接律以后的连续矩及色散。本页没有从计量定义或十二近邻推出唯一空间结构，也没有由这一个标量模型得到全部粒子谱和稳定性。

OP-SD-004要求微观变量、全部连接张量、时间规则、粗粒化误差、分支及读出响应。替代晶格、其他网络或无晶格模型，都应比较这些相同对象。依赖 FCC 的具体计算随模型接受检验，独立成立的连续结果则按其自身条件保留。