纵向密度与横向剪切的耦合

01任务定位

OP-EM-005 · OPEN

以已经建立的局部变分模型为起点，继续计算归一化源、完整场与稳定有限能量构型。

02已经建立的基线

本任务承接最终第三章第八节的非线性纵横候选，而不是从零寻找一个耦合项。将空间位移在相容边界下分为无旋 $\mathbf u_L$ 与无散 $\mathbf u_T$，定义 $\eta=-\nabla\cdot\mathbf u_L$ 和 $\boldsymbol\Omega_T=\nabla\times\mathbf u_T$；两者无量纲。$\eta>0$ 表示局域压缩，$\eta<0$ 表示膨胀。取旋转标量耦合

$g_{LT}$ 的量纲为能量密度。这一项使横向扭转强度成为纵向体应变的局域输入；它的身份是所选非线性构成，后面的变分则是该构成内可逐步检查的结果。

对于时间端点和空间边界上消失的变分，纵向部分使用 $\delta\eta=-\nabla\cdot\delta\mathbf u_L$：

横向部分使用 $\delta\boldsymbol\Omega_T=\nabla\times\delta\mathbf u_T$。旋度的分部积分在此边界条件下保持符号，于是

与自由场项一起变分并移至其方程右端，得到互为反作用的两个广义力密度：

它们的单位是 N/m³，分别为纵向梯度源与横向无散源，不能解释成电流密度 $\mathbf J$。在均匀零背景下耦合是三次项，不改变最低阶自由波谱；有限背景或有限振幅下则使通道相互驱动。

03局部能量下界与诱导膨胀

只有三次项时局部能量未必有下界。加入纵向正二次项与横向四次项，以常数 $K_L>0$、$\lambda_T$ 表示相应系数，两者都具有压力量纲。配方得到

充分条件为 $\lambda_T\geq2g_{LT}^2/K_L$。在固定横向强度的局部平衡中，对 $\eta$ 求导得到

因此 $g_{LT}>0$ 时横向扭转诱导膨胀与密度亏损。局部应变变量 $\eta$ 与外部长程引力尺度势不是同一个量；把这项响应接到长程源，还需纵向构成、完整梯度能及边界解。

在封闭保守体系中，把耦合势能一并纳入，总能量保持守恒；一个通道失去能量可以对应另一个通道获得能量。允许交换不等于不可逆耗散，局部有下界也不等于已经得到完整稳定粒子解。

04需要完成的工作

以已有局部候选和两侧变分为起点，在统一纵横作用量中确定系数和归一化，补齐完整梯度、源与边界条件；求有限能量构型、非零背景扰动谱、通道交换及动力学稳定性。下一份成果应把假定参数、导出系数及可计算的响应函数分开列出。

05交付与判定标准

交付同一作用量的完整方程、边界条件、量纲和守恒核查、一个可复算的构型或谱问题，以及从局部密度响应到长程源的明确映射。若只检验局部配方，应明确它已经证明的下界范围，不将其扩大为电子、质子质量或全部扰动方向稳定性。

06复核边界与来源

依据最终合订稿第三章式（3.74）—（3.77）、第九节第四项。候选耦合的变量、双向源项、局部能量下界和诱导膨胀已经给出；微观系数与完整稳定局域结构继续研究，原问题 ID 保持 OP-EM-005。

07Space Dynamics 的正式承接

本任务由纵横耦合页、OP-SD-001及 OP-SD-006承接。它们应继续计算同一组候选的源、场与稳定结构，不把已经完成的局部变分重新写成尚无任何动力学。