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"局部双场泛函怎样组织源与反馈",
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"候选成立需要怎样的谱和能量",
"长程引力为什么需要额外接口",
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"质量、运动族与测量怎样共同匹配",
"从候选泛函继续到物质"
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## 统一问题从已经得到的成分开始
第五章已经建立局部双场母作用量、互易变分方程、独立拉伸扩展及尺度能量的解析驻点。统一任务由这些已有结果继续推进：求出同一系统的完整物质构型、传播谱、引力源和测量响应，而不是从空白开始寻找一条公式。
空间动力学已经有纵横状态、二次传播、正能量、有效电磁表示和互易耦合；物质与引力进一步需要非线性取向、稳定局域解和正确源。母方程的问题是这些关系能否在同一真空、变量、作用量和边界中共同实现，而不是把几个熟悉方程排在一起。
第五章先使用长度量纲位移 $\mathbf u$ 与无量纲实分量序参量 $\Theta_A$，再考察独立拉伸、取向和可见张量通道的扩展。它们是明确的候选实现，不唯一指定全部基本自由度。第四章的 $Q\in SU(2)$ 也有不同目标空间约束；跨表示的对应必须说明。
本页保留这些候选的可计算内容与开放身份。给出泛函以后，还要选定系数、解初值和边值问题、求稳定构型及其反馈谱，才可能把它作为闭合动力学使用。
## 局部双场泛函怎样组织源与反馈
取 $s=\nabla\cdot\mathbf u$、$\mathbf w=\nabla\times\mathbf u$，均无量纲。$F(\Theta)=\sum_A\Theta_A^2-v_0^2$ 扣除真空幅度，使局域核心外的幅度源趋零；这里 $F$ 是函数，不是形变矩阵。书稿采用
$Z_u,I_\Theta,A_\Theta>0$ 分别权重位移动能、序参量动能及梯度能。长度单位的 $\mathbf u$ 给出 $[Z_u]=\mathrm{kg\,m^{-3}}$、$[K_u]=\mathrm{J\,m^{-3}}$；无量纲 $\Theta_A$ 给出 $[I_\Theta]=\mathrm{J\,s^2m^{-3}}$、$[A_\Theta]=\mathrm{J\,m^{-1}}$。$c_u$ 是尚未计入反馈的裸传播参数。
$W$ 以真空能为零点，书稿允许 $U+V_{\rm FCC}$ 的微观选项；内部取向势与空间高阶导数不是同一个概念。$\mathcal E_{\rm stab}$ 和 $\mathcal E_{\rm nl}$ 表示仍须指定的稳定及非线性内容。$\mathbf J_{\rm ext}$ 是外部广义力密度；不含外源的闭合系统要把内部源随变量一起求解。
若 $\mathbf T(\Theta,\nabla\Theta)$ 无量纲，$g_L,g_T$ 为能量密度系数。$\mathbf w$ 是轴矢量，保持反演对称时 $\mathbf T$ 也须如此。书稿的一个允许例子为
$$
T_i=\ell_0^2\epsilon_{ijk}C_{AB}\partial_j\Theta_A\partial_k\Theta_B,\qquad C_{AB}=-C_{BA}.
$$
$\ell_0$ 是长度，$C_{AB}$ 是无量纲内部系数。此例展示可用的轴矢量结构，不唯一指定模型，也不因“扭转源”的名称自动成为守恒电荷流。
## 逐项变分怎样联系两个场
对常数 $K_u$ 的位移恢复能作分部积分，使用 $\nabla\times\mathbf w=\nabla s-\nabla^2\mathbf u$，两部分合成 $-K_u\nabla^2\mathbf u$。源能 $g_LsF$ 对位移的变分系数为 $-g_L\nabla F$，$g_T\mathbf w\cdot\mathbf T$ 为 $+g_T\nabla\times\mathbf T$；进入拉格朗日方程后，得到
其中 $\mathbf J_{\rm add}=-\delta E_{\rm add}/\delta\mathbf u$，$E_{\rm add}=\int(\mathcal E_{\rm stab}+\mathcal E_{\rm nl})d^3x$。对每个实分量 $\Theta_A$，幅度函数的导数是 $2\Theta_A$，梯度依赖的 $\mathbf T$ 还要使用 Euler–Lagrange 导数，故
$\mathcal C=\mathbf w\cdot\mathbf T$，两式的附加项来自同一 $E_{\rm add}$。系数二、符号和梯度反馈由共同泛函固定，不能分别调节两个方程的耦合而仍把它们称为原模型。
在均匀背景和相容边界下，位移方程的纵向源为 $g_L\nabla F$，横向源为 $-g_T\nabla\times\mathbf T$，其余项分别投影。非均匀系数、独立标架或另行采用共动导数时，需要重做变分和正则动量；本式明确使用偏时间导数，没有藏入未定义的对流速度。
## 候选成立需要怎样的谱和能量
二次位移能的正系数保证裸传播，但非零真空上的 $g_LsF$ 可产生幅度混合。[波传播页](/theory/space-dynamics/wave-propagation#ordered-vacuum)已由同一泛函求出纵向反馈后速度；完整模型必须在实际真空上线性化，再检查稳定分支和共同观测速度。三次耦合的零场结果不能替代这里的非零背景谱。
若没有外源且附加能量不含时间导数，正则动量为 $\boldsymbol\pi_u=Z_u\partial_t\mathbf u$、$\pi_A=I_\Theta\partial_t\Theta_A$，哈密顿量是正动能加 $\mathcal E_0$。恢复能与耦合的配方为
$$
\begin{aligned}
\frac{K_u}{2}(s^2+|\mathbf w|^2)+g_LsF+g_T\mathbf w\cdot\mathbf T
&=\frac{K_u}{2}\left(s+\frac{g_LF}{K_u}\right)^2
+\frac{K_u}{2}\left|\mathbf w+\frac{g_T\mathbf T}{K_u}\right|^2\\
&\quad-\frac{g_L^2F^2}{2K_u}-\frac{g_T^2|\mathbf T|^2}{2K_u}.
\end{aligned}
$$
因此 $W$ 和高阶梯度／稳定项必须控制最后两个负贡献。$F$ 若为幅度平方，需要足够强的高次幅度项；$\mathbf T$ 若由梯度双线性构成，需要相应高阶梯度控制。$s$ 与 $\mathbf w$ 还受同一位移约束，逐点配方提供方便的充分检查，而非完整稳定性定理。
## 长程引力为什么需要额外接口
局部双场的静态响应已得到 $\nabla^2(K_us+g_LF)=0$。光滑局域源和零远边界下，$\sigma=g_LF/K_u$；它驱动局部压缩，核外却没有第二章所需的 $1/r$ 密度或拉伸势。这个具体结论要求扩展纵向本构，不能只更换源的名字。
书稿给出独立拉伸候选：
$\varphi$ 是无量纲尺度势，$Z_\varphi>0$ 权重其局域动能，$\mathcal J_g$ 是不含时间导数的源泛函。它允许局域源产生 $1/r$ 静态远场和可积梯度能，并对序参量增加由 $-\varphi\mathcal J_g$ 能量导出的反馈。若源含梯度，反馈也包括对梯度的变分；若含时间导数，须重新做完整 Legendre 变换。
独立 $\varphi$ 与位移散度不是原本同一个自由度。联合保留时要明确约束、耦合或尺度分离，以免重复计能。可见张量分支也不能从普通兼容位移应变自动获得。第五章对独立标架和 TT 通道提出的条件，是候选系统的扩展任务，而不是已证明等价的拼接。
## 稳定局域化需要怎样的计算
若确实采用 $Q\in SU(2)$ 取向并有相容的有限能量边界，第四章考察
$L_i=Q^{-1}\partial_iQ$ 是取向的空间导数，单位为逆长度；范数采用第四章 $\|X\|^2=\operatorname{Tr}(X^\dagger X)/2$。$A_2$ 单位为能量除以长度，$A_4$ 为能量乘以长度。第五章另一种范数与全指标求和有不同归一化，要连同系数核对，不能直接搬用数值。
对固定幅度取向作整体尺度变化，得到
二阶梯度能随结构尺寸成正比，四阶项成反比，非负势能随体积变化。上式第一行保留第四章的 $Q_\lambda(\mathbf x)=Q(\mathbf x/\lambda)$；第五章 (5.6.23) 采用相反约定 $\Theta_\lambda(\mathbf r)=\Theta(\lambda\mathbf r)$，只须令两章的尺度参数互为倒数，就得到同一驻定条件 $E_4=E_2+3E_V$。无量纲缩放参数与实际半径 $R$ 不是同一个变量。
第五章 (5.6.24)–(5.6.25) 随后把固定形状的局域能量写成 $E(R)=A_2R+A_4/R+A_0R^3$。这里 $R>0$ 为长度，$[A_2]=\mathrm{J/m}$、$[A_4]=\mathrm{J\,m}$、$[A_0]=\mathrm{J/m^3}$。这些系数包含所选形状与模型参数，不是已经拟合出的电子半径或质量。
取 $A_2,A_4>0$，先令 $A_0>0$。求导 $E'(R)=A_2-A_4/R^2+3A_0R^2=0$，再令 $x=R^2$，得到 $3A_0x^2+A_2x-A_4=0$。在 $x>0$ 上左边严格递增，由负值跨到正值，所以只有一个正根；舍弃负根便得到登记式中的解析半径。有理化时以共轭分母相乘，消去易相减的两个根式项。
有理化式 $R_*^2=2A_4/[A_2+\sqrt{A_2^2+12A_0A_4}]$ 在 $A_0=0$ 也直接成立，给出 $R_*^2=A_4/A_2$；含 $6A_0$ 分母的原式仅在 $A_0>0$ 使用。代回驻点方程残差为零，且 $E''(R_*)=2A_4/R_*^3+6A_0R_*>0$。给定尺度模型的正驻点与径向稳定机制已有解析表达，这一结果不能再笼统描述为“尚无稳定尺度解析结果”。
尺度族上的严格极小值没有代替完整三维场方程的解。继续任务是确定系数与形状、求有限能量静态或周期构型、检查非径向二阶变分或 Floquet 演化，并把分裂、辐射和幅度过零通道纳入稳定性。电子与质子性质仍需由同一解计算，不能只凭这个半径赋值。
## 质量、运动族与测量怎样共同匹配
一个局域解还要给出不同意义的质量。静止能量 $E_0$ 定义能量质量 $M_E=E_0/c^2$；低速平移作用量定义惯性质量；无穷远拉伸势定义主动引力质量；测试结构对外部拉伸的能量斜率定义被动引力质量。书稿在独立拉伸候选中得到
源积分和能量匹配后，$Z_\varphi=c^2/(4\pi G)$ 是所需归一化；若以观测 $G$ 标定它，并没有独立算出 $G$ 的微观起源。惯性与被动质量仍须从相同解的运动和外场响应求得，四种质量不能只因为都解释为空间结构便自动相等。
接着要构造速度相关核心、内部刷新与伴随场的自洽运动族，恢复已有 ASD 动量和能量关系，以及有向 LVE 的计量响应。第五章还要求完整着装激发与相位匹配 $P_i=\hbar\partial_i\Xi$、$E=-\hbar\partial_t\Xi$；提取静止载波后的慢包络相位只对应其有效能量，不能再当作全部静止能。
有了运动族，才可计算失配源、延展传播分支和包络，再进入边界与探测器。传播方程同形、引力远场、稳定局域化和测量响应，是需要联合协调的任务，而不是重复写出某个有效方程就全部完成。
## 从候选泛函继续到物质
现有作用量使源、反馈、能量和适用极限能够逐项核查。继续推进需要把实际系数、非线性项、目标空间及边界定下来，求同一系统的真空谱、局域解和运动响应，随后与具体装置比较。统一源、反馈后同速、稳定拓扑和微观对应分别由既有 [OP-SD-001](/open-problems/space-dynamics/unified-dynamics)、[002](/open-problems/space-dynamics/equal-speed)、[003](/open-problems/space-dynamics/stable-topology)、[004](/open-problems/space-dynamics/continuum-microscopic)追踪；[纵波探测](/open-problems/space-dynamics/longitudinal-wave-detection)和[引力源](/open-problems/space-dynamics/source-coupling)继续约束其物理接口。
下一阅读问题是：这些状态怎样形成一个长期保持的局域对象？现有 [Matter & Topology](/theory/matter)从局域化和稳定性进入粒子候选、电荷、质量与自旋。本页为它提供动力学上游，保留已建立的有效计算，也保留尚须由解决定的内容。