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## 从激发到接收的一次过程
自由纵向空间波是空间压缩状态的含时传播解，具有由作用量确定的能量与能流。它把激发源与接收体联系起来；从传播解到可测信号，还要计算接收物质及其参考标准的响应。
讨论自由纵向空间波，先要指定在哪里激发、在哪个背景中传播、用什么物质接收。源区的体积或连接状态随时间变化，可激发纵向位移与密度扰动；离开源区以后，无源方程描述它的自由演化。接收体则通过自己的耦合，把到达场变成长度、相位、频率或能量交换的读数。
本页取均匀、常系数和长波小振幅近似。长度量纲的 $\mathbf u_L$ 满足无旋条件，线性相对密度 $\sigma=-\nabla\cdot\mathbf u_L$ 压缩为正。所谓“声子”在 ASD 中是借用来指传播激发或其可能的模量子化语言；它并不表示已经观测到空间晶格，也不把空间换成普通声学材料。
## 方程与初始场共同确定传播
若纵向位移源为 $\mathbf J_L$，归一化系数为 $Z_L>0$，对位移方程取负散度，得到
$s_\sigma=-Z_L^{-1}\nabla\cdot\mathbf J_L$ 是密度源，单位为 $\mathrm{s^{-2}}$。在源以外它为零，但自由解仍由起始时刻的 $\sigma$ 与 $\partial_t\sigma$ 决定。两份初值须能来自相同边界下的纵向位移；零波数的整体数量或体积约束也不能随改写丢失。
在各向同性无限空间取推迟响应，令 $R=|\mathbf r-\mathbf r'|$，书稿给出
$$
\sigma(\mathbf r,t)=\sigma_{\rm in}(\mathbf r,t)+\frac{1}{4\pi c^2}\int\frac{s_\sigma(\mathbf r',t-R/c)}{R}\,d^3r'.
$$
$\sigma_{\rm in}$ 是满足初值的齐次解，$\mathbf r'$ 是源位置。若采用有限起始时刻，积分只包括此前已经建立、并能因果到达的源历史。归一化 $1/(4\pi c^2)$ 配套于 $\partial_t^2-c^2\nabla^2$；改用 $c^{-2}\partial_t^2-\nabla^2$ 时，源也要同时改归一化。辐射、反射或有限区域边界不同，使用的 Green 核也不同。
## 自由波的能量与几何扩散
对于无源传播区，能量从原通道作用量得到：
此处取 $A=L$，$\mathcal E_L$ 为能量密度、$\mathbf S_L$ 为能流。自由情况下 $\mathbf J_L=0$，能量改变只由边界流决定。若改用密度变量，还须保留
中的 $1/k^2$ 动能核，不能另给一个随意的局域密度能。$\mathbf k$ 是波数，零模由整体条件处理；[纵向场页](/theory/space-dynamics/longitudinal-field)展开其来源。
局域源的球面远区可有 $1/R$ 场振幅、$1/R^2$ 能流密度与有限积分功率。无耗散方程表示这一自由模型没有内置不可逆损失，不表示没有几何扩散，更不表示穿过物质时无限穿透、没有散射或吸收。后者由物质耦合及新的边界问题决定。横波的无散条件也不排除同样的远区扩散。
## 静态背景、伴随结构与粒子识别
静态纵向背景由稳态源与边界决定，描述长期存在的空间状态；自由纵波是初始扰动或激发后向外传播的含时解。物质伴随结构则与移动核心共同演化，其场不一定独立向远区输送功率。三者可以调用相关自由度，却要分别求源、谱和边界。
第四章还把中微子探索为纵向主体并含弱取向耦合的传播激发。这是粒子识别候选：普通位移变量的纵向性没有给出半整数自旋、费米统计、手征选择或味响应。书稿的内部相位模型另有传播与探测投影条件，不能把无源密度波直接称为已经求得的中微子。
同样，实际引力波的可见偏振不是只由“纵向”二字确定。第五章分别处理源区能量、真空标量／独立张量通道和干涉仪差分响应；共同速度不能替代这些计算。这里不把静态引力、中微子候选或张量观测当作自由纵向空间波已经被识别的证据。
## 接收体怎样把场变成读数
接收过程要先写明物质与纵向状态的耦合，再求接收体的位移、跃迁或其他状态变化。参考尺、参考频率和传输链也属于装置：若被测对象与标准器同样响应，公共因子可能抵消。只给到达的 $\sigma$、传播速度或总能量，还不能得到一个可检验读数。
第五章的长波差分干涉仪给出一个具体例子：令两臂单位向量为 $\mathbf a,\mathbf b$，探测张量为 $D_{ij}=(a_i a_j-b_i b_j)/2$。若标量有效应变包含扩缩项 $\alpha_B\sigma_g(\delta_{ij}-n_i n_j)$ 和纵向项 $\alpha_L\sigma_g n_i n_j$，则 $D_{ii}=0$ 使标量读数只含组合 $(\alpha_L-\alpha_B)\sigma_gD_{ij}n_i n_j$。这里 $\sigma_g$ 是该候选引力通道的标量变量，$\mathbf n$ 是传播方向，$\alpha_B,\alpha_L$ 是仍需由物质和光传播求出的响应。这个理想长波退化不能仅靠增加同类仪器消除；有限臂长响应、其他接收体或独立的理论关系需要另行计算。
现有研究方向包括寻找长度、相位或频率的差分响应，以及检查可辨识的通道转换。每一项都需要源强、传播传递函数、接收响应、参考系统与噪声模型；机械声学、温度和普通电磁串扰要进入相同装置计算。当前没有独立参数支撑的灵敏度数字，本页也不由无耗散模型推出通信性能。
[OP-SD-005](/open-problems/space-dynamics/longitudinal-wave-detection)将自由纵波探测作为明确任务，[实验矩阵](/tests/space-dynamics)保留已有候选方向和约束分类。该矩阵没有收录被确认的自由纵向空间波探测结果；完成源—传播—接收模型，才有依据给出定量判别条件。