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$\delta\sigma=-\nabla\cdot\delta\mathbf u_L$，故耦合变化的纵向部分为 $g_{LT}\int|\boldsymbol\Omega_T|^2\nabla\cdot\delta\mathbf u_L\,dt\,d^3x$。在常数 $g_{LT}$ 和相容边界下，将导数移到旋度平方，得到 $-g_{LT}\nabla|\boldsymbol\Omega_T|^2$。 横向变分使用 $\delta\boldsymbol\Omega_T=\nabla\times\delta\mathbf u_T$，平方的导数给因子二： $$ \delta_T S_{LT}=-2g_{LT}\int\sigma\boldsymbol\Omega_T\cdot(\nabla\times\delta\mathbf u_T)\,dt\,d^3x. $$ 对旋度分部积分，并舍去已经指定为零的边界项，得到 它们的单位为广义力密度。纵向源是梯度，天然无旋；横向源是旋度，天然无散，因而与相应通道约束相容。$\mathbf J_A^{\rm nl}$ 不是电荷电流，电磁源要由另一个明确的守恒流与耦合识别。 把这两个源加入各自的通道方程，就是从同一候选得到的驱动与反作用。系数若随背景变化，导数还会作用在系数上；本段的简单表达取 $g_{LT}$ 为常数。 ## 能量转换为什么不等于耗散 每个通道的能量方程含 $\mathbf J_A^{\rm nl}\cdot\partial_t\mathbf u_A$。沿用相同边界分部积分，纵向功率的空间积分为 $-g_{LT}\int|\boldsymbol\Omega_T|^2\partial_t\sigma\,d^3x$；横向功率为 $-2g_{LT}\int\sigma\boldsymbol\Omega_T\cdot\partial_t\boldsymbol\Omega_T\,d^3x$。相加后正好得到 $$ \int\!\left(\mathbf J_L^{\rm nl}\cdot\partial_t\mathbf u_L+\mathbf J_T^{\rm nl}\cdot\partial_t\mathbf u_T\right)d^3x=-\frac{d}{dt}\int g_{LT}\sigma|\boldsymbol\Omega_T|^2\,d^3x. $$ 因此在没有外源和净边界流时，自由通道能量加相互作用能守恒。某一通道能量减少，可以来自转换到另一个通道、暂存于相互作用能或从边界辐射离开；这些情况不是自动的不可逆耗散。要加入耗散，须指出被粗粒化掉的环境或热自由度怎样承接能量。 三次项在 $\sigma=0$、$\mathbf u_T=0$ 的真空上不改变二次谱。非零背景、核心附近或有限振幅且具有合适相位匹配时，才可能发生具体模式转换；转换率和完整背景谱仍要由指定构型计算。 ## 局部能量界怎样得到 三次项自身不保证大振幅能量有下界。书稿在局部能量截断中加入 $K_s\sigma^2/2$ 与 $\lambda_T|\boldsymbol\Omega_T|^4/4$，其中 $K_s>0$ 和 $\lambda_T$ 均为能量密度系数。将密度项配方： 右侧第一项非负。若 $\lambda_T\ge2g_{LT}^2/K_s$，第二项也非负，因而这个局部截断具有充分的能量下界条件。在等号边界，四次余项为零，还要检查其他稳定项是否控制剩余平坦方向。 此处 $K_s$ 是该局部密度能的系数，要与所用完整作用量匹配；它不能只因名称相近就与任意梯度或普通弹性模量等同。逐点有界性也没有证明有限能量局域解存在，更没有检查全部梯度扰动、分裂、取向约束和边界模。稳定三维结构需要额外的[拓扑能量与缩放检查](/theory/space-dynamics/master-equation#topology-and-stability)。 ## 这条通路还需要怎样连接引力与物质 候选耦合已经有互易源、能量交换和局部界，因而可以用于检验给定背景的响应。它仍未确定物质核心、源强与引力远场。局部体积变化必须先与长程尺度变量区分；有序真空反馈也要重算全谱，不能沿用未耦合同速条件。 第五章第六节的 $\mathbf u+\Theta$ 候选另外引入 $g_LsF$ 和 $g_T\mathbf w\cdot\mathbf T$，双方方程同样从一个泛函求得。[母方程页](/theory/space-dynamics/master-equation)按其实际变量展开；这些不同候选没有未经映射就成为同一个相互作用。 [OP-SD-001](/open-problems/space-dynamics/unified-dynamics)继续检查共同动力学，[OP-SD-006](/open-problems/space-dynamics/source-coupling)要求从同一物质构型得到源、远场和质量关系。这里已得到的局部结果，为这两项任务提供具体输入。