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## 从局部体积开始

ASD 的纵向通道把局域压缩、物质源和长程引力拉伸联系起来。局域密度场与无量纲长程尺度势分别定义，作用量决定二者怎样传递源、能量和反馈，随后才进入波长与钟频读数。

纵向场首先描述局部体积怎样变化。取长度量纲的位移型状态 $\mathbf u$，参考位置为 $\mathbf x$，$n_s$ 为基元或连接数密度。在参考数量守恒、形变映射保持取向且可逆的区域，密度由体积雅可比决定：

<Equation name="sd-volume-map" />

$F_{ij}$ 是无量纲形变梯度，$\det F>0$；右边的各向同性例子另取 $F=e^\varphi I$。$\varphi$ 是这一形变中的无量纲对数线尺度，$e^\varphi$ 是线膨胀因子，对应第四章 (4.15) 所用的 $\Omega$。线性极限 $|\nabla\mathbf u|\ll1$ 给出 $\sigma=-\nabla\cdot\mathbf u_L$；$\sigma>0$ 表示压缩，$\sigma<0$ 表示稀疏。

一般形变仍须使用行列式。径向和切向伸长不同的背景，不能用某一个方向的尺度立方代替体积。由光或标准过程读出的引力尺度，也必须先与这个实际形变变量建立本构对应，才可代入密度关系。

在第五章的弱场静态、长波且近似各向同性的标架匹配中，$\sigma=-3\varphi$ 是 $e^{-3\varphi}-1$ 的线性主部。这个代数映射须与形变、源和能量一起使用；它没有把高频密度动能核转换成独立拉伸场的局域动能。

## 密度怎样由位移动力学演化

在均匀常系数背景中，纵向位移满足 $Z_L(\partial_t^2-c^2\nabla^2)\mathbf u_L=\mathbf J_L$。$Z_L>0$ 是该通道的动能归一化系数，位移具有长度单位时 $[Z_L]=\mathrm{kg\,m^{-3}}$；$\mathbf J_L$ 是广义力密度，单位为 $\mathrm{N\,m^{-3}}$。共同速度 $c$ 此处来自所采用的有效匹配。

对这条方程取负散度，且用 $\sigma=-\nabla\cdot\mathbf u_L$，得到

<Equation name="sd-density-wave" />

旧公式 ASD-WEB-WAV-001 中的 $\psi_L$ 在本页取为无源密度通道 $\sigma$：它表示同一线性自由方程的变量命名，不是另一个独立的长程引力势。

$s_\sigma$ 的单位为 $\mathrm{s^{-2}}$，是位移源的散度响应，不是普通物质密度，也不能脱离 $\mathbf J_L$ 任意指定。边界与零波数约束必须随变量变换保留。没有源的传播区、具有稳态源的区域和随物质运动的共动区域，会给出不同的解；同一个波算符没有把它们等同。

[自由纵波](/theory/space-dynamics/longitudinal-waves)讨论初值和接收过程。这里继续检查从位移到密度的改写是否保留原模型的能量。

## 相同波方程不允许任意更换能量

采用 Fourier 约定 $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf x}$，纵向位移平行于 $\mathbf k$，故 $\sigma=-i\mathbf k\cdot\mathbf u_L$。对 $\mathbf k\ne0$ 反解，再代入原动能和梯度能，得到

<Equation name="sd-density-energy" />

相同变量变换下，无源纵向拉格朗日量为书稿 (5.4.9)：

$$
L_L=\frac{Z_L}{2}\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\left[\frac{|\partial_t\sigma|^2}{k^2}-c^2|\sigma|^2\right].
$$

原位移的时间变化现在由 $1/k^2$ 权重计能；实空间动能包含逆算符 $(-\nabla^2)^{-1}$，其含义依赖边界和零模的处理。源作用也须把 $\mathbf J_L\cdot\mathbf u_L$ 连同上述反解一起改写。

因此，另写常数 $Z_\sigma$ 乘以 $[(\partial_t\sigma)^2-c^2|\nabla\sigma|^2]/2$，是新的局域标量构成模型。它即使给出同速波方程，也会改变同一密度振幅的能量、源归一化和静态响应，不能算作原作用量的等价表达。

## 局部源产生了哪一种静态响应

第五章的局部双场候选令 $s=\nabla\cdot\mathbf u$ 与幅度源 $F(\Theta)=\sum_A\Theta_A^2-v_0^2$ 通过能量项 $g_LsF$ 耦合。这里 $\Theta_A$ 是无量纲实分量，$v_0^2$ 为真空幅度平方，$F$ 是函数而非前面的形变矩阵。暂忽略附加项和横向源，常数 $K_u>0$ 下的静态位移方程是 $-K_u\nabla^2\mathbf u=g_L\nabla F$。

对它取散度，得到

<Equation name="sd-static-density" />

后面的等号还使用了全空间光滑、$F$ 局域化、无附加奇异源及组合在无穷远趋零的边界。在这些条件下，调和组合只能为零，因而局部幅度确实驱动压缩。但核心外 $F=0$ 时，密度响应也趋零；位移可以保留尾部，密度与长程尺度势却没有因此获得相同尾部。

若强行把 $s\propto1/r$ 延伸至无穷远，而保留正常数 $K_u$ 下的局部能 $K_us^2/2$，体积积分按 $\int^\infty dr$ 发散。这个计算明确说明：局部体积响应已经得到，第二章的长程引力还需要扩展纵向本构。固定模长取向使 $F$ 处处为零时，也要重新定义源，不能靠名称赋予它引力。

## 以独立拉伸变量恢复长程场

书稿给出的一条候选扩展，是将无量纲拉伸势 $\varphi$ 作为独立变量。它采用梯度能而非把 $1/r$ 当作局部密度。其作用量及由变分得到的方程为

<Equation name="sd-stretch-action" />

<Equation name="sd-stretch-farfield" />

$[Z_\varphi]=\mathrm{J\,s^2m^{-3}}$，源函数 $\mathcal J_g[\Theta,\nabla\Theta]$ 具有能量密度单位，在这条候选式中不含时间导数。静态积分取无穷远零势和局域可积源；$\mathbf r'$ 是积分位置，$\mathbf r$ 是考察位置，分母为两者的参考距离。有限源的远区项正比于 $\int\mathcal J_g d^3r'/r$，而 $|\nabla\varphi|^2\propto r^{-4}$ 的远区能量可积。

这给出了所需远场的明确数学途径。源函数仍要从物质构型求得，$\varphi$ 也必须向核心方程提供反作用。若与位移密度模型同时保留，需要说明独立自由度、约束或尺度分离；若源含动能，要重新计算正则动量与完整能量。[源耦合任务](/open-problems/space-dynamics/source-coupling)追踪这些匹配。

这里还须明确源的支撑。第四章 (4.37)–(4.38) 的球对称源若严格在 $R_{\rm core}$ 外为零，则核外势精确为 $\gamma_\rho Q_\rho/(4\pi r)$；若只知道 $\int|s_\rho|d^3r<\infty$ 而仍有源尾部，有限 $r$ 处须保留内外源壳层，$1/r$ 仅为远区渐近项。网页据此保留完整积分，不把“有限源积分”单独写成精确核外解的充分条件。

## 空间尺度怎样进入引力读数

第五章的弱场符号采用 $\Phi_N=-c^2\varphi$、$\mathbf g=c^2\nabla\varphi=-\nabla\Phi_N$：$\Phi_N$ 是有量纲引力势，$\mathbf g$ 是加速度，$\varphi$ 是无量纲尺度势。它们必须与第二章的参考、尺度和边界约定匹配；局部数密度不能仅凭量纲成为仪器的频率或长度读数。

ASD 的测量链仍从空间尺度开始。尺度背景联系传播波长以及原子或其他标准过程的响应，再由相位或周期计数形成频率比较。[引力红移](/theory/gravity/gravitational-redshift)已经沿这条顺序展开。第四章还指出，若传播与吸收标准完全同样缩放，公共因子可能在共振比中抵消；所以源、传播和标准过程必须共同计算。

纵向动力学的任务是给这条链提供源与本构，而不是引入独立的时间流速改变。静态背景、自由密度波和仪器所见的辐射偏振，仍由各自的源、方程和接收响应决定。

<CanonicalSource />