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## 局域核心与周围空间共同运动

在 ASD 的物质图景中，一个粒子被研究为具有有限能量的局域空间结构。它的局域性并不意味着周围空间与它无关：核心的平移、形变和内部运动都可能改变核外场，核外场又通过能量动量交换反作用于核心。伴随场讨论的正是这一共同演化，而不是先把“波函数”指定为粒子周围的一种概率实体。

需要分清三个对象。局域核心承担稳定结构和集中交换的物质属性；伴随场是与核心及其制备历史相关的空间响应，可以包含共动近场、形变和相位；自由传播波则是在相应传播通道内按初边值条件传播的扰动，可向远区输运能量。真实解可能同时含有这些成分，要通过允许的扰动频率与空间形态（场谱）、边界和能流把它们区分出来。

本页从一个假定存在的完整静态构型出发，说明运动怎样进入场方程，再说明给定源怎样产生空间响应。这里的静态构型包括核心及其原有周围场；[稳定粒子解](/open-problems/matter/electron-solution)仍须由完整非线性动力学确定。

## 从平移试探到失配源

用 $\mathcal Q_*(\mathbf r)$ 表示完整静态构型，$\mathbf X(t)$ 表示核心中心，$\eta(\mathbf r,t)$ 表示相对于平移构型的剩余扰动。先考虑时间导数已归一化、且没有速度交叉项的示范方程

$$
\partial_t^2\mathcal Q+\mathcal F[\mathcal Q]=0,
\qquad \mathcal F[\mathcal Q_*]=0.
$$

$\mathcal Q$ 可以汇集多个空间场变量，$\mathcal F$ 代表所选非线性空间动力学算子。暂时只移动静态轮廓，取 $\boldsymbol\xi=\mathbf r-\mathbf X(t)$；速度与加速度分别定义为 $\mathbf v=\dot{\mathbf X}$、$\mathbf a=\ddot{\mathbf X}$。在固定观察位置连续求两次时间导数，链式法则给出

$$
\partial_t\mathcal Q_*=-({\mathbf v}\cdot\nabla)\mathcal Q_*,
\qquad
\partial_t^2\mathcal Q_*
=({\mathbf v}\cdot\nabla)^2\mathcal Q_*
-({\mathbf a}\cdot\nabla)\mathcal Q_*.
$$

这里的空间导数作用于平移后的核心轮廓。把 $\mathcal Q_*+\eta$ 代回原方程，对 $\eta$ 保留一阶项，静态方程消去原有的空间平衡项，便得到：

<Equation name="qm-source" compact />

$\mathcal H_*(t)$ 描述静态结构受到微小形变后的线性恢复作用；数学上，它是静态能量二阶变分按动能内积归一化所得的线性算子。$S_{\rm tr}$ 是刚性平移留下的源，完整的 $S$ 还可能包含内部相位、取向、随速形变和外部背景的贡献。定义这一阶方程时已经舍去 $O(\eta^2)$ 的非线性项。这一步把“运动会带动周围场”的图景变成可以逐项计算的方程。

即使 $\mathbf a=0$，刚性平移仍可能留下二次速度项。但它说明的是试探构型与原方程之间的失配，不是“凡运动必辐射”。真正的运动解允许核心轮廓与周围场共同调整，这些调整能够改变甚至抵消某些残差。如果核心本身是周期解，就要考察扰动经过一个背景周期后怎样变化，这对应周期背景的线性化和 Floquet 分析，不能直接使用静态扰动谱替代。

## 核心位置与场形变怎样分开

移动核心位置，会产生形如 $\partial_i\mathcal Q_*$ 的扰动；若再把相同的变化计入 $\eta$，便把同一个平移自由度计算了两次。这种只移动中心、保持内部形状的扰动称为平移零模。把它归入 $\mathbf X(t)$ 后，就要从剩余扰动中排除同一成分，即要求二者按动能内积正交：

<Equation name="qm-projection" compact />

其中 $\langle\cdot,\cdot\rangle_Z$ 的权重 $Z$ 由作用量中的动能项确定，多场系数不同时需相应加权。投影到平移零模的方程决定核心运动，投影到正交补的方程决定其他形变、伴随响应和辐射。核心轨迹与源强因而需要由同一作用量及解共同确定，而非各自任意指定。

这也说明内部振荡与核外物质波之间还需要一座动力学桥梁。局域正常模是在核心附近按某一固定形态振荡的微小扰动，其振幅首先只是随时间变化的量；把它写成依赖空间位置的振幅，需要额外的延展传播结构。后续[有效波动方程](/theory/quantum/effective-wave-equation)所采用的有隙分支，指零波数时仍有非零频率、又能承载空间相位变化的传播分支；它是待由完整核心—场谱求出的条件。

## 给定源后，怎样求实际响应

在背景和系数近似均匀、单通道近似成立的区域，可取线性传播算子为 $\partial_t^2-c^2B_{ij}\partial_i\partial_j+\Omega_a^2$。$B_{ij}$ 是实对称正定的无量纲响应矩阵，$c$ 是特征速度，$\Omega_a$ 是该通道的隙频率；下标 $a$ 在此标记通道，与上文的加速度向量 $\mathbf a$ 含义不同。推迟 Green 函数 $G_a^{\rm ret}$ 表示一次局域扰动向后续时空点传播的响应。实际解由初始场和源历史共同给出：

<Equation name="qm-retarded" compact />

$t_0$ 是初始时刻，$\eta_{a,\rm in}$ 是满足给定初值的齐次解，积分中的 $S_a$ 是投影到所选通道的源。$\mathbf r',t'$ 标记被积分的源位置与源时刻，区别于观察点 $\mathbf r,t$；撇号在这里标记积分变量，不表示求导。保留初值项意味着：相同的瞬时核心位置不一定对应相同的场，制备历史也参与决定响应。通道相互耦合时需要矩阵 Green 函数；投影基随位置变化时，还要保留基矢导数引起的混合，只有背景与投影基变化足够缓慢、通道之间的转换可以受控地忽略时，才可采用单通道绝热近似。

核心有有限尺度，源也具有实际形状。远离核心时可以按总源强、源的方向分布及更高空间矩逐级展开，这就是多极展开。但导数型失配源的单极积分，即总源强，可能为零，此时要从首个非零多极项计算，不能统一换成同一个点源。有限核形状因子描述源的实际空间分布如何改变不同波数的响应；候选晶格的波数范围来自底层连接。这是两种不同的尺度机制，彼此不能代替。

以各向同性无隙通道为例，推迟传播时间由 $t-t_r=R(t_r)/c$ 决定；消去源时刻 $t_r$ 时产生方向因子 $1-\mathbf n\cdot\mathbf v/c$，其中 $R$ 为推迟源点到观察点的距离，$\mathbf n$ 为这一方向的单位矢量。这说明固定传播速度与移动源的方向性可以同时出现。它与 LVE 方向关系、物质波相位之间的定量对应，仍须分别完成动力学匹配。

狭缝或材料界面存在时，还要使用相应边界下的传播响应。由此得到的场会携带孔径和材料的信息；它与核心如何通过开孔、探测器如何吸收并记录物质事件共同组成实验问题。场传播的解表示本身尚未给出核心落点概率。

## 共动响应与自由辐射的分界

“随核运动”说明场与源之间的时间空间关系，却没有单独规定远区能流。对形如 $f(\mathbf r-\mathbf vt)e^{-i\omega_st}$ 的匀速源，$f$ 表示源轮廓，$\omega_s$ 表示规定的内部驱动频率。把该源分解为不同频率与波数的平面波成分，所得 Fourier 谱集中在 $\omega=\mathbf k\cdot\mathbf v+\omega_s$，需要再检查这一源谱是否与所选自由传播谱相交：

<Equation name="qm-radiation" compact />

其中 $\mathbf k$ 为波数，$\omega_a(\mathbf k)$ 为第 $a$ 通道的本征频率。第二个关系专用于各向同性有隙支，$\omega_0$ 为该支零波数频率，$\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$，并要求 $v<c$。谱交点允许传播模式受到激发；形成实际远区通量还需要源确实耦合到该传播模式，即具有非零源投影，并采用只允许能量向远区传出的出射边界条件。

在无隙、各向同性的通道中，静态轮廓匀速平移对应 $\omega_s=0$。当 $v<c$ 时，没有非零波数的辐射交点。若外源同时保持内部周期驱动，则条件改变：例如始终规定 $\omega_s=\omega_0$ 的运动外源，可以与上述有隙支相交并持续供能。因此，无外加供能、无净辐射的稳定运动结构，需要频率、轮廓和场反馈的自洽关系。

阈值等号必须单独处理。由式 (5.1.29)，$\omega_s<\omega_0/\gamma$ 时源谱没有辐射交点；$\omega_s=\omega_0/\gamma$ 则恰触及谱的极小值，是临界情形。该式后的书稿段落使用非严格不等号，却称为严格低于阈值。本页把无交点结论限定在严格亚阈值区间，临界响应仍需结合源投影和极限能流计算。

最终书稿式 (5.2.1)–(5.2.6) 还给出了可以直接检查的二维响应。取核心沿 $x$ 匀速运动，$b_x,b_y>0$ 为常系数，$\Omega_s$ 是相对载波的源频率偏移，$W_0$ 是源幅度。令 $\xi=x-vt$、$\eta=y$，并作

$$
\Psi=e^{-i\Omega_st+iq_v\xi}\chi,\qquad q_v=\frac{m_0v}{\hbar b_x},\qquad
Y=\eta\sqrt{b_x/b_y},\qquad S_d=\frac{2m_0W_0}{\hbar^2}.
$$

共动相位消去一阶空间导数，横向坐标缩放使主部各向同性；同时必须变换点源的雅可比，得到

$$
(\partial_\xi^2+\partial_Y^2+K_s^2)\chi=
\frac{S_d}{\sqrt{b_xb_y}}\delta(\xi)\delta(Y),\qquad
K_s^2=q_v^2+\frac{2m_0\Omega_s}{\hbar b_x}.
$$

定义 $R_b^2=\xi^2+(b_x/b_y)\eta^2$。当 $K_s^2>0$ 取出射条件，当 $K_s^2=-\mu_s^2<0$ 取远区衰减条件，分别有

$$
\begin{aligned}
\Psi_{\rm out}&=-\frac{iS_d}{4\sqrt{b_xb_y}}e^{-i\Omega_st+iq_v\xi}H_0^{(1)}(K_sR_b),\\
\Psi_{\rm dec}&=-\frac{S_d}{2\pi\sqrt{b_xb_y}}e^{-i\Omega_st+iq_v\xi}K_0(\mu_sR_b).
\end{aligned}
$$

$H_0^{(1)}$ 为出射 Hankel 函数，$K_0$ 为衰减的修正 Bessel 函数；后一支要求 $\Omega_s<-m_0v^2/(2\hbar b_x)$。对其实径向幅度，同一有效方程的流满足 $\mathbf j-\mathbf v|\Psi|^2=0$，即随核平移而无相对外向流。与足够规则的有限核轮廓卷积，可替代点源的对数奇性。出射支则是持续受驱的传播响应，即使配成驻波消去净流，也不会自动使无限空间总能量有限。这些解析构造说明给定方程已经允许哪些响应，不把源强和频率冒充拟合出的电子参数。

## 怎样从伴随响应进入物质波

伴随场的有效构造已经给出一条明确的计算路线：选定完整构型和作用量，计算平移残差与模态投影，再结合初边值和源历史求响应，并检查远区通量与总能量。要把它确认为物质波，还需在同一自由运动解上建立核心与场的相位锁定，计算完整结构的总动量与作用量。

机械动量包含核心及必要近场的贡献。把相位波数联系到这一总动量，并独立完成单激发作用量匹配，才可以使用 $\mathbf P=\hbar\mathbf k$；把场包络归一化也不自行产生 Born 统计。前一任务连接[物质波](/theory/quantum/matter-wave)，后一任务连接[探测与统计](/theory/quantum/detection-statistics)。

电子和中性复合物的干涉，为伴随场要求提供了实际约束：它必须恢复正确的相位、传播和探测图样，并与真实装置边界相容。这些要求由[量子实验矩阵](/tests/quantum)汇集。源项与共动解的闭合进入 [OP-QM-001](/open-problems/quantum/source-equation)，相位与动量的连接进入 [OP-QM-002](/open-problems/quantum/phase-momentum-locking)。

<CanonicalSource />