--- { "category": "计量与运动学", "chapter": "第一章", "template": "theory", "version": "1.1.0", "updated": "2026-10-24", "canonical": true, "source_tier": "canonical", "theory_status": "DERIVED", "module_key": "lve", "module_navigation": [ { "path": "/theory/lve", "label": "理论总览", "en": "Overview" }, { "path": "/theory/lve/derivation", "label": "完整推导", "en": "Derivation" }, { "path": "/theory/lve/physical-meaning", "label": "物理意义", "en": "Physical Meaning" }, { "path": "/theory/lve/tests", "label": "实验关系", "en": "Tests" } ], "source_chapter": "第一章", "source_version": "ASD-BOOK-ddbade997b45", "source_sha256": "dace8ff491b4e4ae8a59b2b98e2a6c9c10e689079021ce0bc117985baba68e86", "last_reviewed": "2026-09-13", "open_problems": [ "/open-problems/master-equation", "/open-problems/lve-muon-decay" ], "sources": [ { "label": "最终合订稿——实际采用范围见本页来源详情", "kind": "final-combined-manuscript", "url": "/downloads/ASD_Final_Manuscript_Source_Manifest.json" }, { "label": "历史来源：《各向异性空间动力学》第一章最终稿（用户提供，23 页）", "kind": "historical-source" } ], "id": "ASD-DOC-THEORY-LVE-DERIVATION", "path": "/theory/lve/derivation", "title": "长度矢量效应：完整推导", "title_en": "Length Vector Effect · Full Derivation", "summary": "保留第一章式（1.1）至（1.19）的必要数学步骤，逐项声明计量前提、运动构造、方向投影与一致性条件。", "evidence_status": "UNTESTED", "equation": "lve", "depends_on": [ "/theory/metrology" ], "related": [ "/theory/lve", "/theory/lve/physical-meaning", "/theory/lve/tests" ], "equations": [ "lve-measurement", "lve-paths", "lve-geometry", "lve-gamma", "lve-time-direction", "lve-direction", "lve-components", "lve", "lve-expansion" ], "source_reference": "第一章 §二，式（1.1）—（1.20）", "outline": [ "Starting Assumptions", "Measurement Relations", "Geometric Construction", "Intermediate Steps", "Final LVE Relation", "Physical Interpretation", "Domain of Validity", "Consistency Checks", "Dependencies", "Sources" ], "seo_title": "Length Vector Effect (LVE) — Derivation | Anisotropic Space Dynamics", "canonical_url": "https://asd-physics.org/theory/lve/derivation", "locale": "zh", "mathematical_review": "CONDITIONAL", "review_path": "/theory/lve/derivation#review-notes", "translation_path": "/en/theory/lve/derivation", "review_note": "γ 的求解依赖 A5 所规定的正反向路径配对。该配对的几何充分性以及正反映射的互逆解释仍属于正式数学复核问题。", "final_source": { "source_id": "ASD-BOOK-ddbade997b45", "chapter": "第一章", "reference": "第一章 §二，式（1.1）—（1.20）", "locators": [ "p0309", "p0311", "p0327", "p0331", "p0333", "p0335", "p0337", "p0348", "p0360", "p0365" ], "adopted_scope": "逐式核对尺度因子、方向投影、分量和横向结果；保留A1—A5复核", "conditions": [ "A1—A5；tt′≠0；0≤v 长度、时间采用已校准且一致的计量标准。真空传播使用同一 $c$，给定光传播过程满足 $r=ct$。第一章从测量关系出发，而不预先引入洛伦兹变换、相对论能量或时空间隔不变量。来源：第一章第一节及第二节，式（1.1）。 书稿以 $\mathbf r=\mathbf c\,t$ 表示定向关系，$r$ 是沿实际传播方向的有效路径长度。它不能在未给出几何对应时被替换成任意三维向量的欧氏范数。用单位方向 $\hat{\mathbf n}$ 指定所讨论的传播或测量方向。来源：式（1.2）及第二节的方向说明。 先以 $K$ 为参考，$K'$ 以恒定 $\mathbf v$ 运动；再考察相对运动方向反转的测量。$\mathbf r,t$ 与 $\mathbf r',t'$ 必须连同发射、接收事件及所属构型一起使用。选择参考系本身不被 ASD 解释为已校准时钟内部性质的改变。来源：最终书稿第一章 §二，p0317—p0331。 书稿设 $\mathbf r'=\gamma(\mathbf r-\mathbf v t)$，并在反向测量中写出 $\mathbf r=\gamma(\mathbf r'+\mathbf v t')$。$\gamma$ 取决于速度大小，正反向使用相同因子。这个构造是本次推导的理论输入；不应把它隐藏成只由单位定义即可推出的结论。来源：式（1.7）—（1.9）。 第一章将正反向路径的乘积归一到 $c^2tt'$，并将两个交叉项写成可相消的 $\mathbf c\cdot\mathbf v\,tt'$ 与 $\mathbf v\cdot\mathbf c\,tt'$。本页保留这一步作为书稿使用的配对条件，不把它自动视为任意方向欧氏向量都成立的恒等式；其几何充分性列于本页末的复核项。 ## 测量关系 · Measurement Relations 对两次测量分别写出： $t,t'$ 是各自所指定传播过程的历时，$\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$ 表示书稿采用的分量方向。$r=ct$ 与 $r'=ct'$ 使用同一 $c$；它们尚未给出两次事件之间的完整映射。 第一章随后将过程关系概括为 $S=vt$（式 1.20，p0364—p0375）。这用于解释“长度—速率—历时”的联系；在本页求 LVE 时使用的是其真空传播实例。计量史与单位实现的细节见[计量学基础](/theory/metrology)。 ## 几何构造 · Geometric Construction 第一式先处理相对位移 $\mathbf r-\mathbf v t$，再由 $\gamma$ 表示运动构型的尺度响应。第二次测量的相对速度反向，因此书稿第三式使用加号。此处的正反向式按书稿的两种测量构造展示；未额外假定它们已构成作用于同一事件四元组的互逆变换群。 推导中只有速度分量展开、光传播计量关系和书稿提出的尺度配对参与求解。没有把标准洛伦兹变换作为中间步骤。 ## 必要中间步骤 · Intermediate Steps ### 1. 按书稿的配对求尺度因子 第一章先将式（1.7）与式（1.9）相乘，写为以下内积形式。下列两行在原章未单独编号： $$ \mathbf r'\cdot\mathbf r =\gamma^2(\mathbf r-\mathbf v t)\cdot(\mathbf r'+\mathbf v t'). $$ 按 A5 的路径配对和归一化，书稿继续写成： $$ c^2tt' =\gamma^2\left( c^2tt'+\mathbf c\cdot\mathbf v\,tt' -\mathbf v\cdot\mathbf c\,tt'-v^2tt' \right). $$ 交叉项相消；对非零传播历时 $tt'\ne0$，依次得到： $$ c^2=\gamma^2(c^2-v^2), \qquad \gamma^2=\frac{1}{1-v^2/c^2}. $$ 以 $v=0$ 时 $\gamma=1$ 且正长度连续对应为条件取正根： 这个代数结果依赖 A5；内积归一化与方向条件的关系必须随结果一起保留。 ### 2. 从向量构造投影到测量方向 将传播关系代入式（1.7），第一章式（1.11）写作： $$ \mathbf c\,t'=\gamma(\mathbf c\,t-\mathbf v t). $$ 按第一章的方向解释，对所指定的 $\hat{\mathbf n}$ 投影，使用 $\mathbf v\cdot\hat{\mathbf n}=v\cos\phi$： $$ ct'=\gamma(ct-vt\cos\phi). $$ 除以 $c$，得到： 这里保留书稿以同一 $\mathbf c$ 记号书写两次传播的方式。方向之间是否经过映射，是 A5 与一致性复核的一部分；以上过程没有对一般三维式直接取模。 ### 3. 由历时关系返回长度关系 由 $r'=ct'$、$r=ct$，代入上一式并约去 $c$： 书稿式（1.13）在长度记号上保留箭头，强调方向相关性。网站在这一标量比例式中用 $r,r'$ 表示已经选定方向的长度，$\phi$ 继续携带方向信息；并未把其主张改成坐标效应。 ## 最终 LVE 关系 · Final LVE Relation ### 分量途径 第一章式（1.15）重写 $\mathbf r'=\gamma(\mathbf r-\mathbf v t)$。取 $\mathbf v=v\mathbf i$，逐分量比较得到： 由于 $v_y=v_z=0$，横向分量中的平移项为零。它们仍乘以书稿所定义的 $\gamma$，所以横向长度满足： ### 方向途径 在一般方向关系中取 $\phi=\pi/2$，则 $\cos\phi=0$，直接得到 $r'=\gamma r$，即书稿式（1.19）。这与式（1.17）和（1.18）对横向分量给出的因子相同。网站使用 $L_\perp$ 只是为明确标示所比较的横向尺度。 ## 物理解释 · Physical Interpretation ASD 将 $L'_\perp=\gamma L_\perp$ 解释为运动关联真实空间长度的横向展开。数学因子的形式与 SR 中的 $\gamma$ 相同，不等于两者具有相同的空间解释或时间解释。 当 $r$ 取为一个周期的光传播长度时，第一章进一步把同一方向关系用于波长，再借助 $\lambda f=c$ 得到频率关系。该应用不参与前面求 $\gamma$ 的步骤。 关于尺、测量值、波长与真值的区分，以及与 SR 的正式对照，见[物理意义页](/theory/lve/physical-meaning)。本页的角色是保留论证主线和依赖，不在这里展开电磁、动量或引力推导。 ## 适用域 · Domain of Validity - 基础构造是指定方向、指定端点的匀速相对运动测量；$0\le v0$。 - 横向结论要求测量尺度垂直于所定义的运动方向；一般方向使用式（1.13），不能处处只乘 $\gamma$。 - 基础传播关系以真空 $c$ 为参照；介质需补充光程、折射率、边界与运动介质条件。 - 旋转与变速装置不是整段套用单一匀速式即可完成，须明确分段、闭合路径和读钟方式。 - $v\to c$ 时 $\gamma$ 发散；第一章没有由此给出超光速适用域，也没有完成微观机制的动力学构造。 ## 一致性检查 · Consistency Checks ### 可直接复算的检查 1. **静止极限**：$v=0$ 时 $\gamma=1$，一般方向关系回到 $r'=r$，对应书稿式（1.14）。 2. **量纲**：$\beta,\gamma,\cos\phi$ 无量纲，长度关系两侧均为长度，历时关系两侧均为时间。 3. **横向极限**：$\phi=\pi/2$ 时方向式与横向分量给出相同的 $\gamma$ 因子。 4. **正反方向的标量因子**：$\gamma^2(1-\beta)(1+\beta)=1$。这检查两个顺逆方向因子的乘积；它本身不证明一般向量映射互逆。 5. **低速极限**：对式（1.10）作网页补充的泰勒展开：
需要人工复核的数学定位与应用条件 以下是网页编排时的复核记录，不替换第一章原式。 1. **内积归一化，p0332—p0335**：一般欧氏内积含两方向夹角。将 $\mathbf r'\cdot\mathbf r$ 直接写成 $c^2tt'$，以及将交叉项用同一 $\mathbf c$ 表示，需要明确路径配对与方向映射。网页保留原计算，并以 A5 标明其条件。 2. **正反向式的对应，式（1.7）与（1.9）**：若把二式当成同一事件的一般欧氏互逆变换，横向投影会给出 $r_\perp=\gamma r'_\perp=\gamma^2r_\perp$，在非零横向尺度、非零速度下产生约束冲突。须确认两次测量的对象、基底和端点如何对应；本页没有默认为已经完成互逆性证明。 3. **实验映射，第三节**：Fizeau 的折射率依赖、缪子存活分布、运钟的真实轨迹，以及 Sagnac 的面积与计时定义，需要分别补充。相关原式和复核状态保留在[实验页](/theory/lve/tests)。
## 依赖来源 · Dependencies | 环节 | 依赖 | 角色 | | --- | --- | --- | | 定向测量 | 第一章式（1.1）—（1.6）、计量标准 | A1—A3；物理与测量输入 | | 运动构造 | 第一章式（1.7）—（1.9） | A4；ASD 构造 | | 求 $\gamma$ | 正反向乘积与路径归一化 | A5；条件性代数结果 | | 一般方向长度 | $\gamma$、方向投影、$r=ct$ | 式（1.13） | | 横向 LVE | 一般方向式或分量式 | 式（1.17）—（1.19） | | 波长与频率 | LVE、$\lambda=r$、$\lambda f=c$ | 下游关系，不是上游前提 | 计量背景见[Metrology](/theory/metrology)。后续动量、磁作用与轨道模块具有自己的附加输入，未被用来反向证明这里的尺度因子。微观生成机制关联[母方程开放问题](/open-problems/master-equation)。 ## 来源与引用 · Sources 本页主线来自第一章第二节，式（1.1）—（1.19）；式（1.20）仅用于过程关系说明。原稿未单独编号的中间计算保持未编号，不伪造书稿式号。A1—A5 和 ASD-WEB-LVE 系列 ID 为网站的引用索引。 SI 的外部定义见 [BIPM](https://www.bipm.org/en/si-base-units/metre)。它是计量背景资料，不作为 ASD 全部空间变换已经由标准机构确认的依据。 [物理意义 →](/theory/lve/physical-meaning) · [实验关系与检验 →](/theory/lve/tests)