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## 光线为什么转向质量源

远处恒星的光从太阳附近经过时，传播方向会发生微小改变。这个问题首先涉及光怎样穿过一个非均匀的空间背景：如果中心源使不同位置的空间长度状态发生变化，怎样把这种变化写成一条光路，又怎样从光路算出接收端看到的方向？

ASD 从[引力红移](/theory/gravity/gravitational-redshift)所对应的空间尺度关系进入计算。物质源建立静态纵向拉伸，标准过程的关联波长随其尺度增长，频率与周期作相应变化。光的局域传播速度保持 $c$，但光实际经过的空间长度，以及把局域传播过程折算到共同参考的方式，都随位置改变。二者合成的量称为参考光程。

靠近中心源的一侧，光程增益更大；波前两侧的传播相位因而积累得不同，传播方向连续转向质量源。下面先建立这一光程，再从相位驻值条件求射线。结果依赖明确给出的空间长度律与标准过程响应，而不是单凭 $c$ 不变就能确定。

## 真实长度与参考光程

考虑孤立、静态、球对称、无电荷的源，质量为 $M$，背景引力耦合系数为 $G_0$。令 $\ell_g=G_0M/c^2$。径向坐标 $r$ 由球面面积 $A=4\pi r^2$ 定义，称为面积半径；它不等于从中心沿径向累积的真实长度。计算限于物质源外且 $r>2\ell_g$ 的区域，忽略光对源的反作用。

<AssumptionCard id="A1" title="背景与径向长度的构成输入">

采用 $X=1-2\ell_g/r$、$\Omega=X^{-1/2}$、$\Phi=\Omega^{-1}=\sqrt X$，以及 $d\ell_s^2=X^{-1}dr^2+r^2d\varphi^2$。来源：第二章式（2.6）、（2.25）。

</AssumptionCard>

这里 $\Omega$ 是线膨胀系数，$\Phi$ 是无量纲线密度系数，$X=\Phi^2$；$\Phi$ 不是三维介质体密度，也不是量子模块中的波场。$d\ell_s$ 是轨道平面内的真实空间线元，$\varphi$ 为方位角。中心源的梯度选出径向，径向真实长度为 $\Omega\,dr$；切向弧长则由面积半径直接给出 $r\,d\varphi$，不再重复乘上径向倍率。

路径长度还要与记录过程的标准相联系。令 $t$ 为远场标准建立的共同参考计数参数，$f_0$ 为该标准频率；书稿采用的局域过程响应是 $dN=f_0\Phi\,dt$，其中 $N$ 是周期数。按局域长度和周期标定的速度为 $v_*=f_0d\ell_s/dN=\Phi^{-1}d\ell_s/dt$。对光取 $v_*=c$，便得到

<Equation name="grv-optical-length" compact />

$d\ell_{\rm opt}$ 是参考光程，$d\ell_{\rm opt}/c$ 才是这套参考下的传播计数间隔。径向的光程因子 $\Omega^2$ 含有两项来源：真实路径拉伸，以及标准过程波长拉伸所对应的周期折算。切向真实弧长已经按球面面积定义，光程只再乘周期折算因子 $\Omega$。这两个分量共同描述任意方向的光传播。

## 由传播计数确定驻值光路

给定发射点与接收点，可以在它们之间设想多条路径 $\Gamma$。每条路径都有沿程累计的光程，也就对应一个共同参考下的传播量 $T[\Gamma]$。“泛函”表示这里的 $T$ 由整条路径决定，而不只由一个位置决定。

<AssumptionCard id="A2" title="局域传播与相位驻值">

以 $v_*=c$ 为局域传播条件，并在几何光学范围采用费马驻值条件。来源：第二章 §IV.1、式（2.26）与（2.43）。

</AssumptionCard>

几何光学把波传播写成射线，要求波长相对于背景变化尺度足够短。静态背景中，固定频率的相位积累与光程成正比；改变路径而保持端点不变，实际射线满足

<Equation name="grv-fermat" compact />

$\delta T=0$ 表示对路径作微小变化时，传播量的一阶变化为零。这是驻值条件，并不保证每种构型只有一条光路，或所有光路都是全局最短路径；强透镜背景可以有多条驻值光路。弱偏折计算则选取与无源直线连续相接的那一支。

## 同一光程的各向同性坐标

面积半径适合说明径向与切向的物理分工。为了直接计算横向梯度，书稿再引入径向坐标 $\rho$，使光程可以写成一个标量权重乘参考欧氏线元。这是同一背景的另一种坐标表示：

<Equation name="grv-isotropic-coordinate" compact />

$q=\ell_g/(2\rho)$ 是无量纲变量，外部坐标支取 $0<q<1$。将上述关系代入原光程的径向项与切向项，分别得到

$$
X^{-2}(dr/d\rho)^2=\frac{(1+q)^6}{(1-q)^2},\qquad
X^{-1}r^2=\rho^2\frac{(1+q)^6}{(1-q)^2}.
$$

两个方向现在具有同一个系数。令 $ds_0=\sqrt{d\rho^2+\rho^2d\varphi^2}$ 为这些坐标下的参考欧氏线元，就有

<Equation name="grv-optical-index" compact />

$n_{\rm iso}$ 是参考光程权重，不表示光的局域速度变成了另一常数。弱场中，$(1+q)^3/(1-q)=1+4q+O(q^2)$，因此出现 $2\ell_g/\rho$。这个系数由完整光程转换得到；坐标变换没有再增加一次空间拉伸，也没有把径向与切向的不同物理含义消除。端点、冲击参数与光程必须始终使用同一坐标表示。

## 从光程梯度得到方向变化

在各向同性坐标平面中，令 $\mathbf x$ 为位置向量，$\mathbf e=d\mathbf x/ds_0$ 为射线单位切向量。费马变分对任意横向路径变化成立，其欧拉—拉格朗日方程写成

<Equation name="grv-ray" compact />

左侧描述传播方向与光程权重沿路径怎样变化，右侧是空间中的光程梯度。取中心源为原点，未扰动光线沿 $x$ 方向、位于 $y=b>0$。$b$ 为远场归一化的冲击参数，即入射直线到中心的垂直距离；在零级路径上 $\rho=\sqrt{x^2+b^2}$。

<AssumptionCard id="A3" title="从完整光程进入弱偏折">

要求 $\ell_g/b\ll1$，发射和接收端远离最近接区域，并忽略源旋转、介质折射及端点运动。$b$ 与强场轨道的最近面积半径不直接等同。

</AssumptionCard>

令 $\theta$ 为射线相对未扰动方向的小转角。一阶计算中 $ds_0\simeq dx$；左侧与方向变化相乘的 $n_{\rm iso}$ 可取零级值 1，右侧则保留 $2\ell_g/\rho$ 的一阶梯度。于是

<Equation name="grv-transverse-gradient" compact />

这一步保留的是不同位置之间的光程差异，并未把全部 $n_{\rm iso}$ 置为常数。负号表示当入射线在 $y=b>0$ 一侧时，方向向负 $y$ 转动，即朝向中心质量。

## 远端点偏折积分

总偏折是沿射线累计的方向变化。对发射和接收均在远处的构型，以 $\alpha_{\rm def}>0$ 表示朝向质量源的偏折大小：

<Equation name="grv-deflection-integral" compact />

必要原函数为

$$
\int\frac{b\,dx}{(x^2+b^2)^{3/2}}=\frac{x}{b\sqrt{x^2+b^2}}.
$$

正、负无穷远的取值分别为 $1/b$ 与 $-1/b$，端点之差为 $2/b$，因而

<Equation name="grv-deflection" compact />

无穷积分对应远端点极限。若光源或观察者距最近接区不够远，应保留实际端点，并将局域接收方向转换成装置报告的角度，不能直接套用这里的总角度。$M\to0$ 或 $b\to\infty$ 时偏折消失，$G_0M/(c^2b)$ 无量纲，与角度量纲一致。

书稿用太阳引力参数和名义半径 $6.957\times10^8\,\mathrm m$ 估计掠射 $b$，得到约 $1.75$ 角秒。太阳表面到中心的距离在当前一阶精度下可用于这一估计；这个数值是中心场计算结果，并不是新增观测数据。参数依据见 [JPL 引力参数](https://ssd.jpl.nasa.gov/astro_par.html)及 [IAU 名义常数](https://arxiv.org/abs/1510.07674)。

## 怎样与观测和比较理论连接

上述推导从 ASD 的空间尺度、真实长度和标准周期响应出发，由完整光程得到梯度，再累计方向变化。若要同一次天文观测比较，还需确定源质量、冲击参数、发射与接收位置、角度参考以及非引力传播影响。只有这些量对应起来，公式中的偏折才成为装置或观测报告的角度。

在相同 $M$、$b$、远端点和一阶精度下，本结果与广义相对论相同。第二章还指出，所采用的完整静态光程与 Schwarzschild 外部场的光学几何同形；这一光学构成自身的高阶展开也不会自动产生独有差异。[光学几何参考](https://arxiv.org/abs/0807.0854)。因此，本页说明的是 ASD 构成框架怎样再现该传播关系，不能把同形结果写成对其物理解释的独立实验证明。

[引力实验条目 GRV-EXP-002](/tests/gravity#GRV-EXP-002)将公式再现、观测参照与数据复拟合分别记录。当前没有由本页计算形成的区分性光偏折量。

## 进一步的传播问题与推导依据

本页使用几何光学、静态球对称真空外部场和弱偏折近似。空间尺度律、径向长度律、标准过程响应与费马条件分别在其进入推导的位置给出。微观源耦合和完整动态构成仍需空间动力学进一步确定；有限端点、介质、旋转及强透镜问题则应按各自背景与边界条件计算。

同一光程的沿程积累给出 [Shapiro 延迟](/theory/gravity/shapiro-delay)；不再展开弱场权重时，可转入[静态致密天体](/theory/gravity/compact-objects)的临界光路。物质轨道则把相同空间长度接入[惯性与作用量](/theory/gravity/orbital-dynamics)。三者共用[引力总览](/theory/gravity)中的背景定义，分别回答方向、传播计数和物体运动的问题。

<CanonicalSource />